Demuestre que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!} = \frac{1}{2}e^{1/4} \sqrt{\pi} \text{erf}(\frac{1}{2})$

Question

Me gustaría demostrar:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!} = \frac{1}{2}e^{1/4} \sqrt{\pi} \text{erf}(\frac{1}{2})$$

Lo que hice fue considerar:

$$e^{-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{n!}$$

Luego integrar término a término de $0$ a $x$ para obtener:

$$\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf} (x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$$

Luego sustituí en $x=\frac{1}{2}$ e intenté algunas manipulaciones pero no llegué a ninguna parte. ¿Alguien podría ayudar, gracias.

Answer 1

Tenemos $\frac{n!}{(2n)!}=\frac{B(n,n+1)}{(n-1)!}$, por lo tanto:

$$\sum_{n\geq 1}\frac{n!}{(2n)!} = \int_{0}^{1}\sum_{n\geq 1}\frac{x^{n-1}(1-x)^n}{(n-1)!}\,dx = \int_{0}^{1}(1-x)e^{x(1-x)}\,dx$$ y el resultado se obtiene al establecer $x=t+\frac{1}{2}$ en la última integral, lo que lleva a $e^{1/4}\int_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-u^2}\,du.$