¿De cuántas formas diferentes se pueden organizar $3$ bombillas rojas, $4$ amarillas y $2$ azules en una fila?

Question

$1)$ ¿De cuántas formas diferentes se pueden disponer $3$ bombillas rojas, $4$ amarillas y $2$ azules en una fila?

¿Simplemente digo $3! 4! 2! = 288$?

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$2)$ En un estante hay $4$ libros de matemáticas diferentes y $8$ libros de inglés diferentes.

a. Si los libros se van a disponer de manera que los libros de matemáticas estén juntos, ¿de cuántas formas se puede hacer esto?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los libros de matemáticas estén juntos?

Para la parte $a)$, puse $8! 4! = 967680$ y para la parte $b)$, $\dfrac{8!4!}{ 12!}$

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No estoy muy segura si lo hice correctamente y agradecería algo de ayuda, gracias.

Answer 1

Creo que debemos asumir que los bulbos del mismo color son indistinguibles. Por lo tanto, estamos contando las "palabras" de longitud $9$ que tienen $3$ R, $4$ Y y $2$ B.

Los lugares para las R se pueden elegir de $\binom{9}{3}$ formas. Para cada una de estas formas, los lugares para las Y se pueden elegir de $\binom{6}{4}$ formas. Multiplica y simplifica.

Sobre los libros, imagina que los libros de matemáticas están colocados en una caja, etiquetada como M. Entonces tenemos $9$ objetos, los libros de inglés y la M. Estos se pueden colocar en la estantería de $9!$ formas. Para cada una de estas formas, los libros de matemáticas se pueden sacar de la caja y ordenarse en $4!$ formas, para un total de $9!4!$.

Para la probabilidad, divide como lo hiciste por $12!$.

Answer 2

$1)$ Supongamos que las bombillas roja, amarilla y azul son idénticas, entonces el número total de formas de colocarlas en fila es: $\dfrac{9!}{3!4!2!}=...$

$2)$ Hay $9$ formas en las que los libros de matemáticas pueden estar juntos, y para cada una de estas formas, tienes $4!8!$, por lo tanto, el número total de formas en las que los libros de matemáticas pueden estar juntos es: $9\times 4!\times 8! = ...$

$3)$ La probabilidad de que todos los libros de matemáticas estén juntos es: $\dfrac{9\times 4!\times 8!}{12!}= ...$