Encontrando la PMF de una variable aleatoria

Question

Sea $X: \Omega \to \mathbb{N}-\{0\}$ una variable aleatoria tal que $\forall k\in\mathbb{N} \;P(X>k+1) = \frac12P(X>k)$. Encuentra la función de masa de probabilidad de $X$.

Lo que he podido hacer hasta ahora :

$$P(X>k+1) = \frac12P(X>k)$$ $$P(X>k+1) = \frac12P((X=k+1)\cup(X>k+1))$$ $$\frac12P(X>k+1) = \frac12P(X=k+1)$$ $$P(X>k+1) = P(X=k+1)$$

Esta igualdad es verdadera $\forall k\in\mathbb{N}$, por lo que también es verdadera para $k = 0$

$$P(X>1) =P(X=1) $$ $$\sum_{k=2}^{\infty} P(X=k) = P(X=1) $$

Supongo que $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = 1 \implies \sum_{k=2}^{\infty} P(X=k) = 1 - P(X=1) $ entonces $P(X=1) =\frac12$. No estoy seguro de si lo estoy haciendo bien hasta ahora y también estoy atascado, así que por favor ayúdame.

Answer 1

Observe que $P(X>k) = 2^{1-k}P(X>1)$ para $k>0$ por inducción. Entonces, como $P(X>1)={1\over 2}$ ya que $1=P(X>0)=2P(X>1)$, vemos que para $k=1$ tenemos $P(X=1)=1-P(X>1)={1\over 2}$ y de manera similar

$$P(X=k) = P(X>k-1)-P(X>k)=(2^{2-k}-2^{1-k})P(X>1)=2^{-k}.$$

Answer 2

Supongo que $0\in\mathbb N$ aquí.

Tu método funciona pero hay una ruta más corta: $$P(X>1)=\frac12P(X>0)=\frac12\cdot 1=\frac12$$ y en consecuencia: $$P(X=1)=1-P(X>1)=1-\frac12=\frac12$$

Por inducción se puede demostrar para $k=1,2,\dots$ que: $$P(X>k)=2^{-k}$$ y en consecuencia: $$P(X=k+1)=P(X>k)-P(X>k+1)=2^{-k}-2^{-k-1}=2^{-k-1}$$

Para $k=1,2,\dots$ se demuestra ahora que: $$P(X=k)=2^{-k}$$