Esta pregunta está en un examen de muestra y estoy luchando.
Sea $R=M_3(\mathbb{R})$ el anillo de matrices reales 3x3. Determina una serie de composición de $R$ como
(1) un módulo $R$
y
(2) un módulo $\mathbb{R}$.
Entonces, en cada problema, necesitamos una serie estrictamente decreciente de submódulos de $R$ de modo que los factores sean simples.
Mi redacción probablemente no sea la correcta, porque soy nuevo en el tema. Mis disculpas.
En el primer problema, consideramos $R$ como un módulo $R$. Esto no nos da ninguna estructura adicional en $R$, por lo que podemos ver esto como el problema de encontrar una secuencia decreciente de subanillos de modo que cada subanillo subsiguiente sea un ideal maximal en el anterior. Entonces, los factores serían simples y tendríamos una serie de composición de $R$ como módulo $R$.
¿Las definiciones de "simple" para un anillo y módulo coinciden de esta manera?
Realmente no sé cómo proceder con esto. Algo sobre $R$ siendo matrices sobre $\mathbb{R}$ en lugar de $\mathbb{Z$} me está dificultando encontrar submódulos/subanillos/ideales.
¿Alguna sugerencia?
Gracias.
Editar:
Publicé esto sin haber mirado la segunda pregunta. Ahora veo que $R$ como módulo $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial porque $R$ es un campo. Por lo tanto, tiene una base $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,...,b_9\}$ y probablemente podemos crear una serie decreciente de grupos, cada uno de los cuales está generado por algún subconjunto de los elementos de la base, así
$$ R \supset \supset \supset ... \supset \supset \{0\}. $$
Creo que lo siguiente es cierto:
Cada cociente es isomorfo a $$, que es isomorfo al cuerpo base $\mathbb{R}$. No hay ningún subgrupo aditivo propio $S$ de $\mathbb{R}$ que esté cerrado bajo la multiplicación por $\mathbb{R}$, porque, dado un elemento no nulo $s \in S$ y un elemento arbitrario $x \in \mathbb{R}$, existe un elemento $y \in \mathbb{R}$ tal que $ys=x$. Por lo tanto, cada cociente es simple y esta es una serie de composición.
