$A\subset\Bbb R^n\text{ abierto}, p\in\Bbb R^n-A$. Entonces $A\cup\{p\}$ es abierto $\iff$ $p$ está aislado en $\partial A$.

Question

Sea $A\subset\Bbb R^n$ abierto y $p\in\Bbb R^n-A$, donde $n>1$. Entonces $A\cup\{p\}$ es abierto si, y solo si, $p$ está aislado en $\partial A$.

Intenté algunas cosas pero ninguna funcionó como se esperaba, ¿podrías darme una pista para abordar este problema?

Edición (después de mucho tiempo):

Inicialmente mis expectativas eran que $A$ pareciera como $\Bbb R^n$ menos puntos numerables. Pero la misma idea parece ser cierta si omitimos puntos numerables de un conjunto abierto. Permíteme explicar mi nueva idea:

Estaba pensando si alguna reformulación de este problema ayudaría. Entonces encontré esta: Sea $X\subset\Bbb R^n$, donde $n>1$, cualquier conjunto y toma un punto $x\in X$. Entonces, $x$ es un punto interior de $X$ si, y solo si, $x$ está aislado en la frontera de $X-\{x\}$. Y esto esencialmente es el hecho de que el interior de un conjunto está separado de su frontera.

¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

Contraejemplo: Sea $n = 1, A = (0,1)$ y $p = 1$. El borde de $A$ es simplemente $\{0,1\}$ y $p$ es un punto aislado de $\{0,1\}$. Sin embargo, $A\cup\{p\}=(0,1]$ no es abierto.

Answer 2

Prueba: Sea $A \subset \mathbb{R}^{n}$ un conjunto abierto, $n \geq 2$ y $a \in \mathbb{R}^{n} - A$. Supongamos que $A \cup \{a\}$ es un conjunto abierto. Entonces, existe un $\varepsilon > 0$ tal que $B(a, \varepsilon) - \{a\} \subset A$. Observe que esta condición también dice que $a \notin \operatorname{int}(\mathbb{R}^{n}-A)$. Si eso no fuera cierto, habría algún $\delta > 0$ tal que $B(a, \delta) \subset \mathbb{R}^{n} - A$. Entonces, $$B(a, \varepsilon) - \{a\} \subset A\text{ y }B(a, \delta) - \{a\} \subset \mathbb{R}^{n} - A,$$ lo cual nos lleva a una contradicción al considerar los casos $\varepsilon < \delta$ y $\varepsilon \geq \delta$. Así que $a \in \partial A$ y podemos concluir que $$B(a, \varepsilon) \cap \partial A \subset (A \cup \{a\}) \cap \partial A = \{a\}.$$ Supongamos ahora que $a$ es un punto aislado de $\partial A$. Entonces, existe un $\varepsilon > 0$ tal que $B(a, \varepsilon) \cap \partial A = \{a\}$. Por lo tanto, podemos escribir $B(a,\varepsilon) - \{a\}$ como una unión disjunta de conjuntos abiertos, es decir $$B(a,\varepsilon) - \{a\} = [(B(a, \varepsilon) - \{a\}) \cap A)] \cup [(B(a, \varepsilon) - \{a\}) \cap \operatorname{int}(\mathbb{R}^{n} - A)].$$ Dado que $B(a,r) - \{a\}$ es conexo (aquí usamos el hecho de que $n \geq 2$; para $n = 1$ este conjunto no es conexo) y $(B(a, \varepsilon) - \{a\}) \cap A \neq \varnothing$, debemos tener $$(B(a, \varepsilon) - \{a\})\cap \operatorname{int}(\mathbb{R}^{n} - A) = \varnothing.$$ Por lo tanto, $B(a, \varepsilon) \subset A \cup \{a\}$.