Límite directo de grupos abelianos

Question

Sea $I$ un conjunto dirigido y sea $(A_i)_{i \in I}$ una colección de grupos abelianos. Sea $A = \varinjlim A_i$ su límite directo. Supongamos que sus mapas son $\rho_{ij} : A_i \to A_j$ para $i \leq j$. No entiendo muy bien cómo se define la operación de grupo en $A$. En el ejercicio 8 de Dummit y Foote, página 268, todo esto se lleva a cabo. Ya tengo (a) y (b), pero en (c) asumen que los mapas son homomorfismos de grupo y definen la operación de grupo $A \times A \to A$ de la siguiente manera: digamos $a \in A_i, b \in A_j$. Definan $\overline{a} + \overline{b} = \overline{\rho_{ik}(a) + \rho_{jk}(b)}$ para cualquier $k \in I$ tal que $k \geq i,j. Entonces, mi pregunta es: ¿por qué podemos elegir cualquier $k$ tal que $k \geq i,j$?

Estoy segura de que esto será trivial. Intenté trabajarlo y fallé.

Answer 1

No importa, me di cuenta de que realmente es fácil.

Sea $a \in A_i$ y sea $b \in A_j$. Sean $k, k' \geq i,j$. Quiero demostrar que $\rho_{ik}(a) + \rho_{jk}(b) \sim \rho_{ik'}(a) + \rho_{jk'}(b)$. Bueno, sea $\ell \in I$ tal que $\ell \geq k$ y $\ell \geq k'$. Entonces obtenemos que \begin{equation} \begin{split} \rho_{k \ell}(\rho_{ik}(a) + \rho_{jk}(b)) \\ &= \rho_{k \ell}(\rho_{ik}(a)) + \rho_{k \ell}(\rho_{jk}(b)) \\ &= \rho_{i \ell}(a) + \rho_{j \ell}(b) \\ &= \rho_{k' \ell}(\rho_{i k'}(a)) + \rho_{j k'}(b)) \end{split} \end{equation}