Si $p$ es un número primo en $Z$, ¿cómo se muestra que $\langle p^n \rangle$ es un ideal primario en $Z$?

Question

Supongamos que $ab \in \langle p^n \rangle = I$. ¿Cómo mostrar que $a \in I$ o $b^m \in I? Ha pasado algún tiempo desde que estudié esto y agradecería si alguien puede ayudarme a recordar cómo suele ser el argumento.

Edición: Creo que debes escribir $I = \langle p \rangle ^n$. Luego usar el hecho de que un ideal primo es primario.

Answer 1

La declaración $ab\in \langle p^n\rangle$ significa que $p^n$ divide a $ab$. Entonces $p|ab$. Entonces si $p \nmid a$, entonces $p$ debe dividir a $b$, es decir, $b^n \in \langle p^n\rangle$. Entonces $\langle p^n\rangle$ es primario!