Comparando dos sigma álgebras en un espacio topológico no de segundo numerable

Question

Sea $(\Omega,\tau)$ un espacio topológico tal que $\tau$ no es numerable en segunda. Supongamos que $B$ es una base para el $\tau$. Denotamos por $M$ y $M_0$ la sigma-álgebra generada por $\tau$ y $B$ respectivamente.

P. Siento que $M$ y $M_0$ no son iguales en general, pero no tengo ningún ejemplo. ¿Alguna sugerencia o ejemplos?

Answer 1

Considera la topología discreta en un conjunto no numerable, con $B$ consistente en todos los singletons. Entonces $M=P(\Omega)$, pero $M_0$ son solo los conjuntos numerables y cocountables.