¿Cómo puedo demostrar la irreducibilidad de este conjunto?

Question

$k$ es un campo algebraicamente cerrado. $X$ $\subseteq$ $A^n$ es una variedad afín irreducible y $f \in k[x_1,...,x_n]$

$X_f = \{ (x_1,...,x_n) \in X \mid f(x_1,...,x_n) \neq 0\}$

$Y:=\{(x_1,...,x_n,1/f(x_1,...,x_n)) \mid (x_1,...,x_n) \in X_f \}$

Sé que este conjunto $Y$ es una variedad afín. Porque podemos escribir que

$Y$= $Z(I(X), 1-x_{n+1}f)$

Pero

1) ¿Cómo podemos mostrar que $Y$ es una variedad irreducible?

2) ¿Cómo podemos mostrar que el anillo de coordenadas de $Y$ es isomorfo a

$k[x]_f = \{ g/f^n \mid n \in \mathbb{N} , g \in k[x]\}$

Necesito alguna pista. No sé cómo puedo empezar con esto.

Answer 1

No es correcto decir que $Y = Z(I(X), 1-x_{n+1}f)$. Tenga en cuenta que $I(X)$ es el ideal de funciones que se anulan en $X$, que es un ideal principal generado por $f$. Si $f$ y $1-x_{n+1}f$ se anulan en $Y$, entonces $1$ también se anula en $Y$, lo cual es imposible. De hecho, tenemos que $Y = Z(1-x_{n+1}f).

Ahora $Y$ es una subvariedad de $\mathbb{A}^{n+1}$ y su anillo de coordenadas se obtiene tomando el cociente del anillo de coordenadas de $\mathbb{A}^{n+1}$ por el ideal que corta a $Y$, es decir, el ideal principal generado por $1-x_{n+1}f$. Por lo tanto, tenemos que $$\text{anillo de coordenadas de }Y = k[x_1, \dots, x_{n+1}]/(1-x_{n+1}f).$$ Es bastante fácil ver que el anillo anterior es isomorfo a la localización de $k[x_1, \dots, x_n]$ en el conjunto multiplicativo generado por $f$ a través del isomorfismo $x_{n+1} \leftrightarrow 1/f$.

En cuanto a la irreducibilidad, intente demostrar este hecho topológico: cualquier subconjunto abierto de un conjunto irreducible es irreducible. Luego note que $Y$ es irreducible cuando se ve como un subconjunto abierto de $\mathbb{A}^n$ (de hecho, note que $Y$ es igual como conjunto a $X_f$, que es el complemento de un subconjunto cerrado de $\mathbb{A}^n$).