Antes de definir la operación de grupo y etiquetar los elementos, ¿cómo se distinguen los grupos de Lie continuos?

Question

Descargo de responsabilidad obligatorio: No soy matemático, soy estudiante de física.

Estoy aprendiendo sobre grupos de Lie y he llegado a un punto difícil aquí. Voy a hablar específicamente sobre los grupos de Lie que se requiere que conozca, $U(1)$, $SO(2)$, $SO(3)$ y $SU(2)$, principalmente porque sé que cualquier cosa que diga tendrá innumerables contraejemplos y en este momento no me preocupa nada fuera de este ámbito.

Entonces, según mi entendimiento, estos grupos de Lie se pueden definir como una 4-tupla, $(G,\cdot,\tau,\mathscr{A})$, un conjunto continuo de elementos, $G$, la operación de grupo, $\cdot$, con todos sus axiomas, y una topología/atlas para darle estructura de variedad. Ahora, en este punto, parece que todos los grupos de Lie mencionados anteriormente son completamente indistinguibles, no hemos etiquetado ninguno de los elementos del conjunto, no hemos definido la operación de grupo y no hemos especificado la composición de la topología/atlas. Mi primera pregunta es si esto es cierto, que en el nivel puramente abstracto estos grupos son actualmente indistinguibles.

Entiendo entonces que definimos una representación de estos grupos como un mapa de los elementos del propio grupo de Lie a algún subconjunto del grupo lineal general:

$$\pi:G\rightarrow GL(n;\Bbb{C}).$$

Es solo en este punto que los grupos de Lie están asociados con matrices, este es usualmente el punto en el que los textos de física recogen la idea de grupos de Lie, sin hacer muchas referencias a este "mapa de representación", asumo que esta es la razón por la que los grupos de Lie a veces se refieren como "los grupos de matriz" en textos de física.

Me parece lógico que en este punto sí podemos distinguir entre los grupos de Lie, porque establecemos el requisito de que las matrices que representan, por ejemplo, $SU(2)$ son unitarias y definidas sobre los números complejos, y las matrices que representan $SO(2)$ son ortogonales y definidas sobre los números reales. Entiendo que existen múltiples representaciones diferentes para cada grupo, exactamente cuáles son no es algo en lo que esté demasiado preocupado en este momento. Mi segunda pregunta sería entonces, ¿es la razón por la que todas las representaciones de grupos de Lie no son isomorfas entre sí porque no existe un mapeo que preserve la operación de grupo? Parece que dado que todos estos grupos de Lie contienen un conjunto continuo de elementos podría existir un mapeo de 1 a 1 entre ellos. Si esta segunda pregunta requiere una cantidad significativa de matemáticas, probablemente se me escape, pero pensé que preguntaría de todos modos.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

¿Cómo son distinguibles estos grupos de Lie? Uno de los métodos estándar es considerar el álgebra de Lie asociada, es decir, un espacio vectorial asociado con un corchete de Lie. Entonces, en su mayoría es álgebra lineal para mostrar que las álgebras de Lie no son isomorfas, y por teoría general, tampoco lo son los grupos de Lie que has escrito. Por ejemplo, a menudo su dimensión ya es diferente (lo que coincide con la dimensión del espacio vectorial del álgebra de Lie). Observaciones similares se refieren a las representaciones.

Answer 2

Para responder a tu primera pregunta, es completamente inexacto decir que $U(1)$, $SO(2)$, $SO(3)$ y $SU(2)$ son "completamente indistinguibles", que "no hemos etiquetado ningún elemento del conjunto", que "no hemos definido la operación del grupo" y que "no hemos especificado la composición de la topología/atlas".

Por ejemplo, con respecto a $SO(3)$:

• Sus elementos son las matrices de $3 \times 3$ $M$ con entradas números reales tales que $M M^{T}$ es la matriz identidad y tal que el determinante de $M$ es igual a $1$.
• Su operación de grupo es la multiplicación de matrices.
• Su topología es la topología de subespacio definida por la incrustación obvia $M \to \mathbb R^9$, bajo la cual la matriz
• $$M = \begin{pmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & M_{2,3} \\ M_{3,1} & M_{3,2} & M_{3,3}\end{pmatrix} $$ es mapeada a la tupla de $9$ $$(M_{1,1} , M_{1,2} , M_{1,3} , M_{2,1} , M_{2,2} , M_{2,3} , M_{3,1} , M_{3,2} , M_{3,3}) \in \mathbb R_9 $$

Podría seguir hablando sobre su atlas también, lo cual es más técnico, pero creo que ya he dejado clara mi opinión.

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Ahora, para decir un poco más sobre la "distingibilidad", el tema clave para un matemático es el concepto de "isomorfismo". Uno podría preguntar: ¿existe un isomorfismo $f : U(1) \to SO(2)$? Si es así, entonces se diría que los grupos de Lie $U(1)$ y $SO(2)$ son "isomorfos".

Pero para un matemático, antes de que esto tenga sentido, el concepto de isomorfismo debe estar definido: dados dos grupos de Lie $G,H$, un isomorfismo es una correspondencia suave y biyectiva $f : G \to H$ tal que $f(gg') = f(g) f(g')$ para todo $g,g' \in G$.

Resulta que, efectivamente, $U(1)$ y $SO(2)$ son isomorfos. La demostración requiere escribir una fórmula para un isomorfismo $f : U(1) \to SO(2)$. Cada elemento de $U(1)$ es una matriz de $1 \times 1$ $(z)$ que consiste en un número complejo tal que $|z|=1$. Siendo $z = x+iy$, definimos $$f(z) = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} $$ Ahora hay algo de trabajo por hacer, es decir, que $f$ es una correspondencia suave y biyectiva y que $f(zw) = f(z) f(w)$, pero se puede hacer y al final se ha demostrado que $U(1)$ y $SO(2)$ son isomorfos. Quizás uno podría considerar esto como evidencia de que estos dos grupos de Lie son "indistinguibles", aunque para un matemático ese es un término a evitar; desde un punto de vista formal, yo me quedaría diciendo que son "isomorfos".

Pero por otro lado, resulta que $SO(2)$ y $SO(3)$ no son isomorfos. Esto requiere probar un negativo: no existe un isomorfismo $f : SO(2) \to SO(3)$. La demostración es un argumento por contradicción, basado en un teorema de topología diferencial: si dos grupos de Lie son isomorfos entonces tienen la misma dimensión; más generalmente, si dos variedades suaves son difeomorfas entonces tienen la misma dimensión. Ahora se calculan dimensiones: la dimensión de $SO(2)$ es igual a $1$ y la dimensión de $SO(3)$ es igual a $3$. Así que no son isomorfos.