Propiedad de finitud de grupos virtualmente libres de torsión

Question

¿Los grupos prácticamente libres de torsión siempre tienen un número finito de clases de conjugación de subgrupos finitos?

Un artículo que estoy leyendo sobre $\operatorname{Out}(F_n)$ menciona que esta propiedad de finitud es una consecuencia de ser prácticamente libre de torsión, pero me resulta difícil ver cómo establecer este hecho. ¿Es posible que una demostración utilice más estructura de $\operatorname{Out}(F_n)$ además de ser prácticamente libre de torsión?

Realmente cualquier pista sería útil.

Answer 1

Es fácil encontrar ejemplos de grupos que no son finitamente generados en los que esto no es verdadero, pero parece que no es cierto en general, incluso para grupos finitamente generados. Hay un ejemplo aquí:

sea $G = (F_2 \times F_2) \rtimes C_2 =$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \langle a,b,c,d,t \mid t^2=1, a^t=b, c^t=d, [a,c]=[b,c]=[a,d]=[b,d]=1 \rangle,$

sea $\phi:G \to {\mathbb Z}$ con $a,b,c,d \mapsto 1$, $t \mapsto 0$, y sea $H= \ker \phi$. Entonces $H$ es virtualmente libre de torsión y tiene infinitas clases de elementos de orden finito. El grupo $H$ no está finitamente presentado, así que sería interesante saber si hay un ejemplo finitamente presentado.