Probar que $\int_{\mathbb{R}}\left|f_{r}-f\right| d m \rightarrow 0 \text { a medida que } r \rightarrow 0^{+}$

Question

Sea $f \in L^{1}(\mathbb{R})$. Para $r>0$ definimos $$f_{r}(x):=\frac{1}{2 r} \int_{x-r}^{x+r} f d m \text { para } x \in \mathbb{R} .$$ Demostrar que $\int_{\mathbb{R}}\left|f_{r}-f\right| d m \rightarrow 0 \text { a medida que } r \rightarrow 0^{+} .$

Aquí, he demostrado que $\int_{\mathbb{R}}\left|f_{r}\right| d m \leq \int_{\mathbb{R}}|f| d m \text { para cada } r>0.$ Y usando la convolución podemos obtener, $\left|f_{r}-f\right| = \left|\frac{1}{2r}\int_{\mathbb{R}}{(f{(x-t)}-f(x)})\chi_{[-r,r]} (t) dm(t) \right |$. ¿Qué debo hacer a continuación?

Answer 1

Por el Teorema de Diferenciación de Lebesgue $f_r \to f$ casi en todas partes. La convergencia $L^{1}$ sigue inmediatamente del DCT si $f$ es una función continua con soporte compacto. [Tenga en cuenta que si $f$ se anula fuera de $[-N,n]$ y $0 entonces$f_r$se anula fuera de$[-N-1,N+1]$]. Ahora aproxime$f$en$L^{1}$por una función continua$g$con soporte compacto. Mediante la desigualdad$\|f_r\| \leq \|f\|$que ya ha aplicado a$f-g$(y la desigualdad triangular para la norma de$L^{1}$) puede obtener fácilmente la convergencia en$L^{1}$de$f_r$hacia$f$.

[$\|f_r-f\| \leq \|(f-g)_r\|+\|g-g_r\|+\|f-g\| \leq \|g-g_r\|+2\|f-g\|$]