Probar que $\int_{\mathbb{R}}\left|f_{r}-f\right| d m \rightarrow 0 \text { a medida que } r \rightarrow 0^{+} $

Question

Sea $f \in L^{1}(\mathbb{R})$. Para $r>0$ definimos $$ f_{r}(x):=\frac{1}{2 r} \int_{x-r}^{x+r} f d m \text { para } x \in \mathbb{R} . $$ Demostrar que $\int_{\mathbb{R}}\left|f_{r}-f\right| d m \rightarrow 0 \text { a medida que } r \rightarrow 0^{+} .$

Aquí, he demostrado que $\int_{\mathbb{R}}\left|f_{r}\right| d m \leq \int_{\mathbb{R}}|f| d m \text { para cada } r>0.$ Y usando la convolución podemos obtener, $\left|f_{r}-f\right| = \left|\frac{1}{2r}\int_{\mathbb{R}}{(f{(x-t)}-f(x)})\chi_{[-r,r]} (t) dm(t) \right |$. ¿Qué debo hacer a continuación?

Answer 1

Por el Teorema de Diferenciación de Lebesgue $f_r \to f$ casi en todas partes. La convergencia $L^{1}$ sigue inmediatamente del DCT si $f$ es una función continua con soporte compacto. [Tenga en cuenta que si $f$ se anula fuera de $[-N,n]$ y $0 entonces $f_r$ se anula fuera de $[-N-1,N+1]$]. Ahora aproxime $f$ en $L^{1}$ por una función continua $g$ con soporte compacto. Mediante la desigualdad $\|f_r\| \leq \|f\|$ que ya ha aplicado a $f-g$ (y la desigualdad triangular para la norma de $L^{1}$) puede obtener fácilmente la convergencia en $L^{1}$ de $f_r$ hacia $f$.

[$\|f_r-f\| \leq \|(f-g)_r\|+\|g-g_r\|+\|f-g\| \leq \|g-g_r\|+2\|f-g\|$]