Prueba de $[0,1]~\text{desconectado}\implies(0,1)~\text{desconectado}$

Question

Quiero probar la siguiente implicación

$$[0,1]~\text{desconectado}\implies(0,1)~\text{desconectado}.$$

Mi intento: Supongamos que $[0,1]=U\cup V$ con $U,V$ abiertos, disjuntos y no vacíos.

Usando la topología de subespacio de $\mathbb{R}$ también tenemos que $U=U'\cap[0,1]$ y $V=V'\cap[0,1]$ donde $U',V'$ son abiertos en $\mathbb{R}$.

Podemos escribir $(0,1)=(0,1)\cap[0,1]=(U'\cap(0,1))\cup(V'\cap(0,1))$. Esto es una unión de conjuntos abiertos ya que $(0,1)$ es un intervalo abierto.

¿Cómo puedo probar que esto también es una unión de conjuntos disjuntos?

¿Será suficiente con demostrar que $U\cap V=(U'\cap[0,1])\cap(V\cap[0,1])=U'\cap V'\cap[0,1]=\emptyset$ para cumplir con la condición de disyunción?

Además, no sé cómo empezar a demostrar que $(0,1)$ es una unión de conjuntos no vacíos.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Bueno, $[0,1]$ está conectado, por lo que la implicación sigue trivialmente. Además, $[0,1]$ desconectado implica que la Tierra es plana, $2+2=5$ y cualquier otra cosa que desees.

Answer 2

Simplemente quitas los puntos $0,1$.

$(0,1)=(U\setminus\{0,1\})\cup(V\setminus\{0,1\})$. Demuestra que $U\setminus\{0,1\}$ y $V\setminus\{0,1\}$ son abiertos en $(0,1)$ (siga de manera casi trivial), no vacíos (trivial) y disjuntos (más trivial).