Estoy considerando $e^{-x}$ con $x \gg 0$. Quiero expresarlo en una serie de la forma
$$ e^{-x} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{x^k}$$
Pero el análisis parece resistirse:
Motivación:
$ \frac{1}{x^k}$ decae rápidamente a 0, al igual que $e^{-x}$, así que estoy pensando que la suma de tales términos debería intuitivamente dar una serie.
Progreso Hasta Ahora:
Mi primera idea fue que la sustitución $ u = \frac{1}{x}$ da como resultado que
$$ e^{-x} = e^{-\frac{1}{u}}$$
Ahora podría intentar expresar esto como una serie de Taylor alrededor de $u = \gamma$, observando que
$$ \frac{d}{du} e^{ - \frac{1}{u}} = \frac{1}{u^2} e^{-\frac{1}{u}} $$
Derivando nuevamente tenemos
$$ \frac{d^2}{du^2} e^{ - \frac{1}{u}} = \left(- \frac{2}{u^3} + \frac{1}{u^4} \right)e^{-\frac{1}{u}} $$
Nuevamente:
$$ \frac{d^3}{du^3} e^{ - \frac{1}{u}} = \left( \frac{2\times 3}{u^4} - \frac{4}{u^5} + \frac{1}{u^6}\right)e^{-\frac{1}{u}} $$
Y en general
$$ \frac{d^k}{du^k} e^{ - \frac{1}{u}}= $$
$$ \left((-1)^{k-1} \frac{2 \times 3 \times ... k}{u^{k+1}} + (-1)^{k-2} \frac{4 \times 5 \times 6 ... \times (k+1)}{u^{k+2}} + (-1)^{k-3} \frac{6 \times 7 \times ... (k+2)}{u^{k+3}}... +\frac{1}{u^{2k}} \right) e^{-\frac{1}{u}} $$
$$ = e^{- \frac{1}{u}} \sum_{i = 0}^{k-1} \frac{(2k-1-i)!}{(2k -1 -2i)!} \frac{(-1)^{-i}}{u^{2k-i}} = \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u^{2k}}\sum_{i = 0}^{k-1} \frac{(2k-1-i)!}{(2k -1 -2i)!} (-1)^{i} u^{i} $$
Entonces se deduce que podemos definir $e^{-\frac{1}{u}}$ alrededor de un punto $u = \gamma$ como
$$ e^{- \frac{1}{u}} = e^{-\frac{1}{\gamma}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{e^{-\frac{1}{\gamma}}}{k!\gamma^{2k}}\sum_{i = 0}^{k-1} \frac{(2k-1-i)!}{(2k -1 -2i)!} (-1)^{i} \gamma^{i} \right) ( u - \gamma)^{k} $$
Y por lo tanto:
$$ e^{-x} = e^{-\frac{1}{\gamma}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{e^{-\frac{1}{\gamma}}}{k!\gamma^{2k}}\sum_{i = 0}^{k-1} \frac{(2k-1-i)!}{(2k -1 -2i)!} (-1)^{i} \gamma^{i} \right) \left( \frac{1}{x} - \gamma \right)^{k} $$
Pero esto explota si $\gamma = 0$, así que los mecanismos para construir ESA serie convergente van a ser muy diferentes a esto (es decir, NO hay convergencia alrededor de $x < 1$ y luego algo bueno...)
Error:
Hay un error en mi derivación, a saber:
$$ \frac{d^3}{du^3} e^{ - \frac{1}{u}} = \left( \frac{2\times 3}{u^4} - \frac{6}{u^5} + \frac{1}{u^6}\right)e^{-\frac{1}{u}} $$.
La derivación de la serie restante también es incorrecta por el mismo error no detectado.
