Deje $C$ ser la categoría de estructuras algebraicas de un cierto tipo y nos vamos a denotar por $|~|$ la subyacente functor $C \to \mathsf{Set}$. Para $M,N \in C$ tenemos un functor $\mathrm{BiHom}(M,N;-) : C \to \mathsf{Set}$ que envía un objeto de $K \in C$ para el conjunto de bihomomorphisms $M \times N \to K$, donde este se define como un mapa de $|M| \times |N| \to |K|$ que es un homomorphism en cada variable cuando la otra es fija. Entonces uno puede mostrar como de costumbre que $\mathrm{BiHom}(M,N;-)$ es representable y de la llamada universal bihomomorphism $M \times N \to M \otimes N$ el producto tensor de $M,N$. Esta es una recta hacia adelante generalización del conocido caso de $C=\mathsf{Mod}(R)$ por un anillo conmutativo $R$.
Pregunta. Tiene este producto tensor arbitrario de estructuras algebraicas ya se ha estudiado o se utiliza en la literatura?
Edit. Sí, ver
B. Banaschewski y E. Nelson, Tensor de productos y bimorphisms, Canadá. De matemáticas. Bull. 19 (1976) 385-401.
He aquí algunos ejemplos: Para $C=\mathsf{Set}$ el tensor de producto es igual a la de costumbre producto cartesiano. Esto también es cierto para $C=\mathsf{Set}_*$. Para $C=\mathsf{Grp}$ obtenemos $G \otimes H \cong G^{\mathsf{ab}} \otimes_{\mathbb{Z}} H^{\mathsf{ab}}$ el uso de algunos Eckmann-Hilton argumento. En particular, esto produce nada nuevo (y difiere del producto tensor de grupos que se conoce en la literatura). El caso de $C=\mathsf{CMon}$ es muy similar al conocido caso de $C=\mathsf{Ab}$ y se explica aquí; es decir, hemos interna de homs y, por tanto, un hom--tensor de contigüidad. Lo mismo es cierto para $C=\mathsf{Mod}(\Lambda)$ generalizados para un anillo de $\Lambda$ (es decir, un conmutativa algebraicas mónada) en el sentido de Durov (ver aquí, en la Sección 5.3).
Pero lo que sobre, por ejemplo, $C=\mathsf{Mon}$? ¿Conoces otras interesantes casos especiales de este producto tensor?
Tenga en cuenta que el tensor de producto es conmutativo, y que conmuta con filtrado colimits en cada variable. Sin embargo, el caso de $C=\mathsf{Grp}$ muestra que no tiene que conmuta con co-productos. En particular, el producto tensor hay a la izquierda adjunto. También, la libre objeto en un generador no es una unidad en general. Por ejemplo, para $C=\mathsf{Mon}$ hemos
$\mathbb{N} \otimes M = M / \{ (mn)^p = m^p n^p \}_{m,n \in M, p \in \mathbb{N}}$
La prueba usual de la asociatividad del producto tensor se rompe: Hay un mapa de $\beta : M \times (N \otimes K) \to (M \otimes N) \otimes K$ asignación de $(m, n \otimes k) \mapsto (m \otimes n) \otimes k$, que es un homomorphism en la segunda variable. Pero, ¿qué acerca de la primera variable? La ecuación de $\beta(mm',t) = \beta(m,t) \beta(m',t)$ es claro si $t \in N \otimes K$ es un puro tensor. Pero para $t=(n \otimes k) (n' \otimes k')$ nos encontramos con la ecuación raro
$((m \otimes n) \otimes k) ((m' \otimes n) \otimes k) ((m \otimes n') \otimes k') ((m' \otimes n') \otimes k')$ $=((m \otimes n) \otimes k) ((m \otimes n') \otimes k') ((m' \otimes n) \otimes k) ((m' \otimes n') \otimes k')$
Pregunta. ¿Conoce usted a un ejemplo concreto que demuestra que el producto tensor de monoids no es asociativa?
