¿Cuántos mapeos de $\mathbb C$ a $\mathbb C$ existen?

Question

Acabo de leer esta pregunta hace un momento, y ahora me pregunto cuántos mapeos posibles hay entre $\mathbb C$ y $\mathbb C$. Corríjanme si estoy equivocado, pero parece recordar que la cardinalidad de los números complejos es $\aleph_1$ (no puedo encontrar esto después de una breve búsqueda en Google), por lo tanto, el número de mapeos de los números complejos a los números complejos sería ${}^2\aleph_1$. ¿Hay algún símbolo para este valor? ¿Este valor es equivalente a alguna otra expresión no trivial que involucre números infinitos y transfinitos?

Disculpen si esta pregunta parece ignorante, solo he leído sobre los números aleph varias veces y no puedo recordar, o encontrar mucho sobre ellos ahora.

Answer 1

La cardinalidad de los números complejos es $\beth_1:=2^{\aleph_0}$. Por lo tanto, la cardinalidad del conjunto de funciones $\Bbb C\to\Bbb C$ es $$\beth_1^{\beth_1}=\left(2^{\aleph_0}\right)^{2^{\aleph_0}}=2^{\aleph_0\cdot 2^{\aleph_0}}=2^{2^{\aleph_0}}=2^{\beth_1}$$

Este último es, por definición, llamado $\beth_2$ (ver "números beth").

Los valores de $\alpha$ tales que cualquiera de los mencionados $\beth$ sea $\aleph_\alpha$ no pueden determinarse exactamente y, de hecho, pueden elegirse con cierto grado de arbitrariedad sin perder consistencia con ZFC (esto es lo que se llama la "hipótesis del continuo generalizada").