¿Cuántas formas hay de colocar 6 bolas en 3 cajas si las bolas son distinguibles pero las cajas no lo son?
No estoy seguro de cómo abordarlo, $\frac{3^6}{3!}$ no es un número entero. Gracias.
Respuestas
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John Machacek
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Este problema puede ser resuelto en general con números de Stirling de segunda clase. Para más información sobre problemas de distribución en general, vea aquí.
En tu caso querrás sumar $S(6,1) + S(6,2) + S(6,3)$.
Théophile
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Consejo:
$\frac{3^6}{3!}$ funcionaría si el contenido de las tres cajas siempre fuera distinguible. Hay un problema cuando dos de las cajas están vacías. En otras palabras, hay tres maneras, no seis, de poner todas las bolas en una de las cajas.
Solución:
Dado que hay $3$ maneras de poner todas las bolas en una caja, se sigue que hay $3^n-3$ maneras de poner las bolas en cajas donde como máximo una de las cajas está vacía. En este último caso, podemos dividir por 3! ya que las tres cajas junto con sus contenidos ahora son distinguibles.
Contando esto, luego sumando la única manera de poner todas las bolas en una caja, obtenemos lo siguiente:
$$\frac{3^6-3}{3!} + 1 = 122.$$
¡Así que estabas cerca! Por cierto, si te metes en los números de Stirling del segundo tipo, $S(n,k)$, puedes comprobar que para todos los $n$, de hecho tenemos $S(n,1)+S(n,2)+S(n,3) = \dfrac{3^n-3}{3!} + 1$.
Naftuli Tzvi Kay
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No soy el mejor en combinatoria pero aquí va. Creo recordar problemas como este en mecánica estadística. $B$ para caja.
$B\mid\quad B\mid\quad B\mid \qquad maneras$
$6\mid\quad 0\mid\quad 0\mid \qquad 1 \qquad$ todos en una caja.
$5\mid\quad 1\mid\quad 0\mid \qquad6\qquad$ uno de los seis por sí solo
$4\mid\quad 2\mid\quad 0\mid \qquad {6\choose2}\qquad$ elige dos de los seis para una caja
$4\mid\quad 1\mid\quad 1\mid \qquad \frac{6*5}{2}\qquad$ elige uno de los seis, luego uno de los cinco y divide por 2 las maneras de hacerlo.
$3\mid\quad 3\mid\quad 0\mid \qquad \frac{1}{2}{6\choose3}\qquad$ seis elige 3 pero divide por dos porque las cajas son indistinguibles.
$3\mid\quad 2\mid\quad 1\mid \qquad 6*{5\choose2}\qquad$ elige uno de los seis luego dos de los cinco restantes
$2\mid\quad 2\mid\quad 2\mid \qquad \frac{1}{3!}{6\choose2}\cdot{4\choose2}\qquad$ dos de los seis, luego dos de los cuatro restantes, y hay 6 formas en las que estas pueden ser ordenadas así que divide por esto.
Gracias a Ned y JMac31 por la ayuda
