Espacios recubridores como cocientes del recubrimiento universal

Question

Sea $(\tilde{X}, p)$ un espacio de recubrimiento universal de $X$. Sabemos que si $G$ actúa de manera adecuada y discontinua en $\tilde{X}$, entonces $\tilde{X}$ es un espacio de recubrimiento de $\tilde{X}/G$ y $\pi_1(\tilde{X}/G)=G$; en particular, $X= \tilde{X}/ \pi_1(X)$.

Sea $G$ un subgrupo de $\pi_1(X)$. Existe un mapa canónico $q : \tilde{X}/G \to \tilde{X}/\pi_1(X)=X$ correspondiente a la inyección $G \to \pi_1(X)$.

Mi pregunta: ¿Es $(\tilde{X}/G, q)$ un espacio de recubrimiento de $X$?

Según mi observación preliminar, $(\tilde{X}, \pi)$ es un espacio de recubrimiento de $\tilde{X}/G$ con la sobreyección canónica $\pi : \tilde{X} \to \tilde{X}/G$. Así que tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

$$\begin{array}{ccc} \tilde{X}/G & \rightarrow^{q} & X \\ \uparrow{\pi} & \nearrow{p} & \\ \tilde{X} & & \end{array}$$

Mi problema principal es que si $U \subset X$ entonces las componentes conexas de $q^{-1}(U)$ no tienen necesariamente el mismo comportamiento.

Answer 1

Usando el enlace proporcionado por Zhen Lin, respondo mi pregunta:

Sea $x \in X$ y $\tilde{x} \in p^{-1}(x)$. Debido a que $\pi_1(X)$ actúa de manera adecuadamente discontinua en $\tilde{X}$, existe un vecindario abierto de $\tilde{x}$ tal que para todo $g \in \pi_1(X) \backslash \{e\}$, $g \cdot V \cap V = \emptyset$. Sea $U$ el vecindario abierto $p(V)$ de $x$ ($p$ es abierto).

Sea $W$ una componente conexa de $q^{-1}(U)$. Tenemos que $p^{-1}(U) = \coprod\limits_{g \in \pi_1(X)} g \cdot V$ entonces $q^{-1}(U) = \pi (p^{-1}(U)) = \coprod\limits_{g \in \pi_1(X)/H} g \cdot \pi(V)$ ($\pi$ es suprayectiva). Por lo tanto, $W$ tiene la forma $g \cdot \pi(V)$, $g \in \pi_1(X)/H$.

Observa que $q$ induce una aplicación continua y abierta de $W$ a $U$. Además, si $x = g_1 \cdot \pi (v_1), y = g_2 \cdot \pi (v_2) \in W$ son tales que $q(x) = q(y)$, entonces $p(v_1) = p(v_2)$, por lo que existe $h \in \pi_1(X)$ tal que $v_2 = h \cdot v_1$ con $h \in \pi_1(X)$. Por lo tanto, $v_2 \in h \cdot V \cap V$, entonces $h = e$ y $x = y$.

Por consiguiente, $q$ induce un homeomorfismo de $W$ a $U$, demostrando que $(\tilde{X}/H,q)$ es un espacio recubridor de $X$.