Tu amigo tenía "razón a medias":
$(1)$ Primero terminando tu trabajo, para $\,\tan\theta = \left(-\dfrac{3}{5}\right),\;$ si $\,\sin\theta < 0,\,$ también necesitaríamos
$$\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{34}} = \dfrac{5 \sqrt{34}}{34} > 0.\;$$ Esto tiene sentido ya que
$$\;\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{-3\sqrt{34}}{34}}{\frac{5\sqrt{34}}{34}} = \left(-\dfrac 35\right). $$
Esto, junto con tu trabajo, nos dice que $P$ estaría en el cuarto cuadrante.
$(2)$ Pero... $P$ también podría estar localizado en el Cuadrante II: Dado que $\;\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \left(-\dfrac 35\right)\lt 0,\;$ entonces exactamente uno de $\cos\theta, \sin \theta\,$ debe ser negativo. $(1)$ da una manera posible en la que esto puede ocurrir.
Pero también podríamos tener que $\cos \theta \lt 0, \sin\theta > 0$, colocando a $P$ en el Cuadrante II.
$$\;\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{3\sqrt{34}}{34}}{\frac{-5\sqrt{34}}{34}} = \left(-\dfrac 35\right).$$
Recuerda que $\,\sin\theta\,$ corresponde a la coordenada $\,y\,$ de $\,P\,$ en un círculo unitario, y $\,\cos \theta\,$ con su coordenada $\,x\,$. Cuando $\,x > 0\,$ y $\,y< 0,\,$ $\,(x, y)\,$ está en el Cuarto Cuadrante; cuando $\,x \lt 0,\;\text{y}\; y\gt 0,\;$ $(x, y)\,$ está en el Segundo Cuadrante.
