El ángulo $\theta$ se encuentra en el cuadrante IV con el punto $P$ en el brazo terminal y $\tan\theta=-\frac{3}{5}$?

Question

El ángulo $\theta$ se encuentra en el Cuadrante IV con el punto $P$ en el brazo terminal y $\tan\theta=-\dfrac{3}{5}$? Mi amigo lo explicó.

No estoy seguro si él tiene razón. En el Cuadrante IV, el $\sin\theta$ y $\tan\theta$ van a ser números negativos, a partir de tu cociente tangente de $-\dfrac{3}{5}$, la hipotenusa será $\sqrt{34}$. Por lo tanto, tu $\sin\theta$ será $-\dfrac{3}{\sqrt{34}}$, o expresado más correctamente como $-\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$, ya que no quieres un radical en el denominador.

Necesito mostrar el trabajo completo para este tipo de pregunta, no creo que esto sea suficiente...

Answer 1

Tu amigo tenía "razón a medias":

$(1)$ Primero terminando tu trabajo, para $\,\tan\theta = \left(-\dfrac{3}{5}\right),\;$ si $\,\sin\theta < 0,\,$ también necesitaríamos

$$\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{34}} = \dfrac{5 \sqrt{34}}{34} > 0.\;$$ Esto tiene sentido ya que

$$\;\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{-3\sqrt{34}}{34}}{\frac{5\sqrt{34}}{34}} = \left(-\dfrac 35\right).$$

Esto, junto con tu trabajo, nos dice que $P$ estaría en el cuarto cuadrante.

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$(2)$ Pero... $P$ también podría estar localizado en el Cuadrante II: Dado que $\;\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \left(-\dfrac 35\right)\lt 0,\;$ entonces exactamente uno de $\cos\theta, \sin \theta\,$ debe ser negativo. $(1)$ da una manera posible en la que esto puede ocurrir.

Pero también podríamos tener que $\cos \theta \lt 0, \sin\theta > 0$, colocando a $P$ en el Cuadrante II.

$$\;\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{3\sqrt{34}}{34}}{\frac{-5\sqrt{34}}{34}} = \left(-\dfrac 35\right).$$

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Recuerda que $\,\sin\theta\,$ corresponde a la coordenada $\,y\,$ de $\,P\,$ en un círculo unitario, y $\,\cos \theta\,$ con su coordenada $\,x\,$. Cuando $\,x > 0\,$ y $\,y< 0,\,$ $\,(x, y)\,$ está en el Cuarto Cuadrante; cuando $\,x \lt 0,\;\text{y}\; y\gt 0,\;$ $(x, y)\,$ está en el Segundo Cuadrante.