Determinar el número de soluciones de la ecuación de $n^m = m^n$

Question

Posible duplicado:
$x^y = y^x$ % enteros $x$y $y$

Determinar el número de soluciones de la ecuación de $n^m = m^n$ donde m y n son números enteros.

Answer 1

Sugerencia:

Desde $m^n=n^m$, tomar registros y separar las variables: $$ \frac{\log(m)}{m}=\frac{\log(n)}{n} $$ Esto sugiere considerar la función de $f(x)=\frac{\log(x)}{x}$.

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Otro Enfoque:

Inicio mediante la comparación de $n^{n+1}$ vs $(n+1)^n$. Dividir ambos por $n^n$, para obtener el $n$ vs $\left(1+\frac1n\right)^n$. Podemos utilizar el teorema del binomio para obtener $$ \begin{align} \left(1+\frac1n\right)^n &=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}\frac1{n^k}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\\ &<\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\\ &<1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{2^{k-1}}\\ &=3 \end{align} $$ Así, por $n\ge3$, tenemos $$ n\ge3>\left(1+\frac1n\right)^n $$ Multiplicando ambos lados por $n^n$ rendimientos que para $n\ge3$ $$ n^{n+1}>(n+1)^n $$ Tomando el $n(n+1)$ raíz de ambos lados da $$ n^{1/n}>(n+1)^{1/(n+1)} $$ Así, hemos determinado que el $n^{1/n}$ es monótonamente decreciente para $n\ge3$. ¿Qué tiene que decir acerca de $m^n$ $n^m$ al $n>m\ge3$?

Más simple Prueba por Inducción

Acabo de notar que $n^{n+1}>(n+1)^n$ $n\ge3$ también puede ser demostrado ser muy simplemente por inducción.

Tenga en cuenta que $3^4=81>64=4^3$.

Supongamos que $n^{n+1}>(n+1)^n$. Dividir a través de por $n^n$ para obtener $$ n>\left(1+\frac1n\right)^n $$ Multiplicar por $1+\frac1n$ para obtener $$ n+1>\left(1+\frac1n\right)^{n+1} $$ Desde $1+\frac1n>1+\frac1{n+1}$ tenemos $$ n+1>\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1} $$ Multiplicar por $(n+1)^{n+1}$ para obtener $$ (n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1} $$ Esto termina la inducción.

Answer 2

Este es un buen problema para una clase de cálculo, para describir todos los pares $(x,\xi)$ de los números reales positivos con $x\ne\xi$$x^\xi=\xi^x$. De $\xi\log x=x\log\xi$ obtener $(\log x)/x=(\log\xi)/\xi$, en otras palabras, usted está buscando para las líneas horizontales que cruzan la gráfica de $f(x)=(\log x)/x$ dos veces. Ya que la función está definida y diferenciable en a $\langle0,\infty\rangle$ con un solo máximo, todo lo que necesitas hacer es lugar donde el máximo ocurre, y por la diferenciación, se ve que es en $x=e$. Utilizando el hecho de que $f(1)=0$, se puede ver que para cualquier $x$$\langle1,e\rangle$, hay un único $\xi>e$ que $x^\xi=\xi^x$. Y, por supuesto, ver que sólo hay un entero en el intervalo abierto $\langle1,e\rangle$.

Answer 3

Recuerdo sólo el resultado, pero no la prueba (de todos modos, probablemente no muy dura):

O $n=m$ o $\{n,m\}=\{2,4\}$.

Answer 4

¿Bueno, hay numerable infinitamente muchos, sí? (Después de todo) solo hay que muchos enteros pares $(m,n)$, por lo que sin duda no más que eso va a ser soluciones a la ecuación. Por otra parte, cualquier par $(m,m)$ será una solución, y hay numerable infinitamente muchas de las personas.

Answer 5

Sugerencia: puede ser que $n$ y $m$ son los poderes de un primo. Claramente tendrían que ser potencias de la misma flor. Definir $n=p^a, m=p^b$ y aplique las leyes de exponentes. De lo contrario, sería un producto de números primos. Una vez más, tienen que ser productos de los primos de la misma. De nuevo, utilice las leyes de exponentes para descartar una.