Guillemin y Pollack definen una orientación en una variedad $k$-dimensional $X\subset \mathbb R^N$ con borde como una elección suave de orientaciones para todos los espacios tangentes $T_x(X)$. (Las condiciones de suavidad significan esto: alrededor de cada $x\in X$ debe existir una parametrización local $h: U\to X$ tal que $dh_u: \mathbb R^k\to T_{h(u)}(X)$ preserve la orientación en cada $u\in U\subset H^k=\{(x_1,\dots,x_k): x_k \ge 0\}$.
Luego afirman que la cinta de Möbius no es orientable. "Se les invita a hacer un modelo de papel y "demostrar" pictóricamente que no existe una orientación suave de la cinta de Möbius. ¡La dificultad es que si caminas alrededor de una cinta transparente lanzando monedas de cara, eventualmente regresas al punto de partida para encontrar las colas arriba!"
No tengo idea de cómo se conecta su "argumento" con caras y colas con la definición que dieron, y qué significa matemáticamente que "caminamos alrededor de una cinta".
Otro argumento (en realidad, supongo que el mismo) que he visto es que se toma un vector normal, se "traduce" alrededor de la cinta, y se observa que la dirección cambia. Pero nuevamente no entiendo a qué contradice dicho argumento (y nuevamente qué significa traducir el vector).
