¿Es más probable que la raíz más grande de un polinomio aleatorio sea real que compleja?

Question

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Se sabe que el número de raíces reales de un polinomio aleatorio con coeficientes reales es mucho menor que el número de raíces complejas. Sin pérdida de generalidad, asumamos que los coeficientes son aleatorios uniformemente en $(-1,1)$, porque si no, podemos dividir cada coeficiente por el coeficiente con el mayor valor absoluto para escalar cada coeficiente a $(-1,1)$. Entonces, el número de raíces reales de un polinomio de grado $n$ es asintótico a $\displaystyle \frac{2\log n}{\pi} + o(1)$. Asíntoticamente similares se mantienen para otras distribuciones de los coeficientes, sin embargo, para el resto de esta publicación asumimos que los coeficientes son aleatorios uniformemente en $(-1,1)$. Esto significa que el número de raíces complejas es aproximadamente $\displaystyle n - \frac{2\log n}{\pi}$.

Definición 1: La mayor raíz de un polinomio es la raíz con el módulo más grande. Definición 2: La menor raíz de un polinomio es la raíz con el módulo más pequeño.

El gráfico anterior muestra las raíces de un polinomio de grado $101$; la raíz más grande está en la esquina superior derecha en color verde.

¿Es más probable que la raíz más grande o la más pequeña sea compleja o real? La suposición ingenua es que la raíz más grande o la más pequeña es más probable que sea compleja que real porque hay exponencialmente más raíces complejas que raíces reales, como se ve en la asíntota anterior.

Sin embargo, los datos experimentales muestran que

1. La probabilidad de que la raíz más grande sea real es igual a la probabilidad de que la raíz más pequeña sea real y esta probabilidad es mayor que la de que cualquiera de ellas sea compleja.
2. Esta probabilidad disminuye a $1/2$ conforme $n \to \infty$ como se muestra en el gráfico anterior (creado usando una simulación de Monte Carlo con $10^5$ pruebas para cada valor de $n$).
3. Nota: En lugar de una distribución uniforme, si asumimos que los coeficientes están distribuidos normalmente con una media de $0$ y una desviación estándar de $1$ y escalados a $(-1,1)$, la observación anterior y las probabilidades límite se mantienen.

Es contraintuitivo que a pesar de ser considerablemente menos en número de forma exponencial, las raíces reales tienen más probabilidad de contener tanto las raíces más grandes como las más pequeñas. En este sentido, las raíces más grandes así como las más pequeñas están sesgadas hacia lo real.

Pregunta 1: ¿Cuál es la razón de este sesgo?

Pregunta 2: ¿Se acerca la probabilidad de que la raíz más grande (o la más pequeña) de un polinomio de grado $n$ sea real a $\frac{1}{2}$ conforme $n \to \infty$?

Actualización 2-Mayo-2024: Podemos cuantificar el sesgo observado de la siguiente manera. Sea $P(L|R)$ la probabilidad de que una raíz sea la más grande dado que es real y sea $P(L|C)$ la probabilidad de que una raíz sea la más grande dado que es compleja. De manera similar, sea $P(S|R)$ la probabilidad de que una raíz sea la más pequeña dado que es real y sea $P(S|C)$ la probabilidad de que una raíz sea la más pequeña dado que es compleja. Entonces, los datos experimentales indican que

$$ P(L|R) = P(S|R) \approx \frac{\pi}{4\log n}, $$

$$ P(L|C) = P(S|C) \approx \frac{\pi}{2n\pi - 4\log n}. $$

Relacionado: ¿Cuál es la probabilidad de que el valor absoluto de las raíces de un polinomio de grado $n$ sea mayor que $x$?

Answer 1

Nota: La idea principal de este argumento es básicamente la misma que en la publicación del blog Persiflage mencionada en el comentario de charmd, aunque obtengo límites ligeramente mejores.

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No es una solución completa, pero puedo demostrar que hay al menos un $6\%$ de probabilidad de que la raíz más grande sea real (independientemente del grado).

En su lugar, consideraremos la raíz más pequeña, que es equivalente según el comentario de Varun Vejalla.

Consideremos el polinomio $p(z) = a_0 + a_1z + \ldots + a_n z^n$. La idea clave es que cuando $|z|$ es pequeño, el comportamiento de $p(z)$ está generalmente dominado por los primeros términos de grado bajo. Dado que (por ejemplo) los polinomios lineales solo tienen raíces reales, no es demasiado sorprendente que la raíz más pequeña de $p(z)$ sea a menudo real.

Concretamente, supongamos que $|a_0| \in [0, \tfrac{1}{9}]$ y $|a_1| \in [\tfrac{5}{6}, 1]$. Entonces afirmo que $p(z)$ tiene exactamente una raíz dentro del círculo $|z| = \tfrac{1}{3}$ y por lo tanto su raíz más pequeña es real. De hecho, en este círculo tenemos $$ |a_1 z | \ge \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{18} $$ mientras que

\begin{align*} |p(z)-a_1 z| &\le |a_0| + |a_2 z^2| + |a_3 z^3| + \ldots \\ &< \frac{1}{9} + \frac{\tfrac{1}{3^2}}{1-\tfrac{1}{3}} = \frac{5}{18} \end{align*}

entonces por el teorema de Rouché $p(z)$ tiene el mismo número de raíces en el círculo que $|a_1 z|$, es decir, una. Y dado que solo hay una raíz, debe ser real.

A partir de las restricciones en $a_0$ y $a_1$, esta situación ocurre $\tfrac{1}{9} \cdot \tfrac{1}{6} \approx 1.9\%$ del tiempo.

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Podemos hacerlo ligeramente mejor encontrando todos los pares de $(a_0, a_1)$ para los cuales este argumento de Rouché funciona, en algún círculo de la forma $|z| = R$.

Siguiendo el mismo razonamiento que antes, tenemos

$$|a_0 + a_2z^2 + a_3z^3 + \ldots| < |a_0| + \frac{R^2}{1-R}$$ y queremos que esto sea menor que $|a_1 z| = |a_1| R$. En otras palabras, queremos que $$(|a_1|+1)R^2 - (|a_0| + |a_1|)R + |a_0| < 0 \tag{$*$}$$ se cumpla para algún $0 < R < 1$. Este cuadrático es positivo en $R=0$ y $R=1$, y su mínimo ocurre en $R = \frac{|a_0| + |a_1|}{2|a_1|+2}$ (que siempre está entre $0$ y $1$), por lo que $(*)$ se cumple para algún $0 < R < 1$ si y solo si el discriminante es no negativo, es decir, $$ (|a_0| + |a_1|)^2 \ge 4|a_0|(|a_1|+1)$$ es decir, $$ |a_1| \ge |a_0| + 2\sqrt{|a_0|}.$$

Entonces hemos demostrado que si $|a_1| \ge |a_0| + 2\sqrt{|a_0|}$, entonces la raíz más pequeña de $p(z)$ es real.

¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra? Si $|a_0|$ es mayor que $(\sqrt{2}-1)^2$, entonces $|a_1|$ tendría que ser mayor que $1$, lo cual no puede suceder. De lo contrario, $|a_1|$ puede tener cualquier valor entre $|a_0|+2\sqrt{|a_0|}$ y $1$, por lo que la probabilidad es

$$\int_0^{(\sqrt{2}-1)^2} 1-(x+2\sqrt{x})\,dx = \frac{23-16\sqrt{2}}{6} \approx 6.2 \%.$$