Esperemos que lo siguiente sea apropiado para MathOverflow; es posible que la pregunta (de naturaleza algo histórica) sea incontestable, pero creo que hay alguna esperanza de poder responder, como explicaré al final.
Recientemente tuve ocasión de revisar el último artículo de Eisenstein, escrito en 1852, el año en que murió de tuberculosis a la edad de 29 años. En él, Eisenstein establece lo siguiente
Teorema. (Eisenstein, 1852 [1]) Sea $$f(z)=\sum a_iz^i$$ la expansión de Taylor de una función algebraica, es decir $f$ satisface un polinomio con coeficientes en el campo de funciones racionales $\mathbb{Q}(z)$. Entonces existe un entero $A$ tal que $A^{i+1}a_i$ es un entero para todo $i$.
Esto implica, por ejemplo, que sólo hay un número finito de primos que dividen los denominadores de los $a_i$. Eisenstein continúa dando un esbozo de una sola oración de la demostración, y luego dice:
Die wichtigsten Anwendungen der so erhaltenen Sätze habe ich auf Fälle gemacht, in denen die algebraischen Funktionen als Integrale von Differential-Gleichungen definirt werden, und dies Differential-Gleichungen für einfache Reihen-Entwicklung geeignet sind, während die vielleicht sehr complicirte Darstellung in endlicher Form ganz unbekannt bleibt und für diesen Zweck auch wirkliich ganz aus dem Spiele gelassen werden kann. Das Einzelne der hieranf bezüglichen Untersuchungen mag für eine künftige Mittheilung vorbehalten bleiben.
Mi pobre traducción al inglés:
Las aplicaciones más importantes de los teoremas así obtenidos las he hecho a casos en los que la función algebraica se define como la integral de una ecuación diferencial adecuada para una simple expansión en series, mientras una representación quizás muy complicada en forma finita sigue siendo completamente desconocida y puede ser completamente ignorada. Los detalles de las investigaciones relacionadas con esto pueden reservarse para una comunicación futura. (DL: Énfasis mío.)
Dado que este fue el último artículo de Eisenstein, los detalles relacionados con esta investigación de hecho no aparecen en ninguno de sus artículos futuros. Mi pregunta es:
¿Cuáles eran estas "aplicaciones más importantes" del teorema de Eisenstein a las soluciones de ecuaciones diferenciales a las que se refiere en este su último artículo?
Espero que la respuesta pueda encontrarse en algunas de las cartas de Eisenstein. Parece que escribió muchas cartas a sus contemporáneos (Gauss, Richelot, Stern, etc.), algunas de las cuales fueron en 1852, contemporáneas con este último artículo suyo. He intentado escanear las cartas que pude encontrar (en particular, las de las "Obras Completas" de Eisenstein) sin suerte, aunque esto podría no significar mucho ya que mi alemán es bastante malo, y no está claro si hay otras cartas existentes de él.
Lo siguiente es sólo especulación--en 1904, Landau utilizó el teorema de Eisenstein para reproducir la lista de 1873 de funciones hipergeométricas de Schwarz que también eran algebraicas. Me pregunto si Eisenstein podría haber tenido algo similar en mente (¿en este caso habría, por supuesto, anticipado el trabajo de Schwarz?)
[1] Eisenstein, Gotthold. "Über eine allgemeine Eigenschaft der Reihen-Entwicklungen aller algebraischen Funktionen." Bericht der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1852): 441-443.
