¿Es la nueva serie un Gran (o incluso Mediano) Asunto?

Question

Ha habido algún asombro y admiración reciente en la prensa científica por el descubrimiento de una nueva fórmula para $\pi$ obtenida como un efecto secundario de calcular amplitudes en la teoría de cuerdas: $$\pi=4+\sum_{n=1}^\infty \frac1{n!}\left(\frac1{n+\lambda}-\frac4{2n+1}\right)\left(\frac{(2n+1)^2}{4(n+\lambda)}-n\right)_{n-1}$$

Aquí $(a)_b$ es el símbolo de Pochammer habitual ($(a)_b=a(a+1)(a+2)\ldots(a+b-1)$) y $\lambda$ es un parámetro libre; en el límite de $\lambda$ grande esto se convierte en la fórmula clásica de Madhava-Leibniz $\pi=4\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}$. El último término aquí es $\left(\frac{4(n-\lambda)+1}{4(n+\lambda)}\right)_{n-1}$; si lo estoy viendo bien, entonces para un $n$ grande esto es esencialmente el producto de un término bastante cercano a $1$, un término de tamaño aproximadamente $\frac{2\lambda}{n+\lambda}$ (más específicamente, $\frac{4(n-\lambda)-4(n+\lambda)+1}{4(n+\lambda)}$ $=\frac{1-8\lambda}{4(n+\lambda)}$), y luego un conjunto de términos que llegan a aproximadamente $(n-3)!$. Esto sugeriría que los términos en la suma van como $\Theta(n^{-5})$ cuando $n\to\infty$: un factor de $\Theta(n^{-1})$ del término en el primer paréntesis, un factor de $\Theta(n^{-1})$ del término $\approx\frac{2\lambda}{n+\lambda}$, y luego un factor de $\Theta(n^{-3})$ del fragmento $\frac{\approx(n-3)!}{n!}$. Eso sugeriría que esta serie converge rápidamente pero no tan rápidamente como las diversas series con términos de orden $c^{-n}$ que dan un número de dígitos proporcionalmente lineal al número de términos.

Mis preguntas básicamente son entonces: (1) ¿Es mi análisis aproximadamente correcto aquí, tengo el orden correcto en los términos? y (2) si no (o si es así, supongo) ¿es esta de hecho una forma práctica o competitiva de calcular $\pi$? Como una especie de pregunta secundaria, esta fórmula tiene al menos un parecido pasajero con el tipo de término que se podría obtener aplicando la transformación de Euler a una serie alternante diferente; ¿es posible que esto sea una transformación de una serie conocida?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

Cambiando de símbolos de Pochhammer a la función gamma, el sumando es $$a_{n,\lambda}=-\frac{(2n+4 \lambda -1)\,\, \Gamma \left(\frac{4 n^2-4 \lambda +1}{4 (n+\lambda )}\right)}{(2 n+1) (n+\lambda ) \,\,\Gamma (n+1)\,\, \Gamma \left(\frac{1-4 n (\lambda -1)}{4 (n+\lambda )}\right)}$$

$$\frac{a_{n+1,\lambda}}{a_{n,\lambda}}=1-\frac{\lambda +2}{n}-\frac{(2 \lambda -1)^2 \log (n)-\alpha}{4 n^2}$$ donde $$\alpha=4 \lambda ^2+(2 \lambda-1 )^2\,\psi ^{(0)}(1-\lambda )+17$$

Agregando $10,000$ términos para varios valores de $\lambda$, algunos números son $$\left( \begin{array}{cc} \lambda & 4+\sum_{n=1}^{10^4} a_n \\ 0 & \color{red}{3.14169265}6449014122789803 \\ 1 & \color{red}{3.141592653589}876574977781 \\ 2 & \color{red}{3.141592653589793}182123845 \\ 3 & \color{red}{3.1415926535897932384}87758 \\ 4 & \color{red}{3.1415926535897932384626}31 \\ 5 & \color{red}{3.141592653589793238462643} \\ \end{array>

mientras que, para el mismo número de términos, la fórmula de Madhava-Leibniz da $\color{red}{3.141}6926436$.

Usando el mismo número de términos, para $\lambda=10$, el error absoluto es de $2.91\times 10^{-42}$ y, para $\lambda=100$, desciende a $3.92\times 10^{-250}$ y para $\lambda=1000$ es menor que $1.00\times 10^{-1000}$.

Answer 2

Puedes calcular un equivalente asintótico de los términos de la suma: $$ u_n(\lambda) = \frac1{n!}\left(\frac1{n+\lambda}-\frac4{2n+1}\right)\left(\frac{(2n+1)^2}{4(n+\lambda)}-n\right)_{n-1}\sim-\frac1{\Gamma(1-\lambda)n^{\lambda+2}} $$ Lo cual da el equivalente asintótico de la suma: $$ R_N(\lambda) = \sum_{n=N}^\infty u_n\sim -\frac1{(\lambda+1)\Gamma(1-\lambda)n^{\lambda+1}} $$ Esto confirma el hecho de que aumentar $\lambda$ generalmente mejora la convergencia debido a una mayor decaimiento de ley de potencias. Sin embargo, esto es válido para $\lambda\not\in\mathbb N^*$. Cuando $\lambda\in\mathbb N^*$, el prefactor se anula, por lo que se esperaría que el coeficiente de orden superior sea aún más pequeño. Este es el caso, esta vez, el equivalente es: $$ u_n(\lambda) \sim\frac{(-1)^\lambda(\lambda-1)!}{4n^{\lambda+3}} $$ y para el resto de la serie: $$ R_N(\lambda)\sim \frac{(-1)^\lambda(\lambda-1)!}{4(\lambda+2)n^{\lambda+2}} $$ Esto es consistente: un $\lambda$ mayor lleva a una convergencia asintótica más rápida. Además, el exponente se mejora por un factor $1/n$ en comparación con $\lambda$ vecinos.

Sin embargo, hay un comportamiento sutil cuando $\lambda\to \infty$. El problema es que el equivalente asintótico anterior no es uniforme en $\lambda$. Para $n \ll \lambda$, lo cual es posible debido a la separación de escalas, en su lugar obtienes la fórmula de Leibniz: $$ u_n(\lambda)\sim \frac{(-1)^n}{2n-1} $$ lo cual tiene una convergencia más lenta para $1\ll N\ll\lambda$: $$ R_N \sim \frac{(-1)^N}{2N} $$ La región donde esto es válido crece linealmente a medida que $\lambda\to\infty$ y "contamina" la cola de ley de potencias más rápida. Ya puedes predecir el declive de esta última al notar su prefactor de factorial en aumento rápidamente.

Puedes comparar esto con la fórmula simple con convergencia geométrica. Toma por ejemplo $\tan(\pi/6) = 1/\sqrt3$: $$ \pi = 2\sqrt3\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)} $$ Obviamente, esta fórmula es superior asintóticamente, pero podrías imaginar que la nueva fórmula podría tener una buena ventaja inicial y dar los primeros dígitos con menos términos. Para tener una buena ventaja inicial, necesitas tener un $\lambda$ relativamente pequeño o de lo contrario recuperarás los primeros términos de la fórmula de Leibniz. El $n$ para el cual esto sucede está antes de la región de validez del equivalente asintótico, pero aún así puedes observar el comportamiento numéricamente:

En resumen, en comparación con la fórmula más simple con convergencia geométrica, la fórmula es una mejora solo para los primeros dígitos, y es terrible asintóticamente.