¿Puedo tener una prueba de que este número existe?
El número:
$$\binom{1}{\binom{2}{\binom{3}{\binom{4}{\vdots}}}}$$
Si el número existe, ¿cuál es la forma cerrada de ese número?
Respuestas
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wujj123456
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Si interpretamos esto como $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\,a_n$, donde $a_n:=\left(\substack{{1}\\{\phantom{a}}\\{\left(\substack{{2}\\{\substack{{\vdots}\\{\binom{n-1}{n}}}} }\right)}}\right)$ para cada $n\in\mathbb{N}$, entonces la respuesta es que el límite no existe. Es fácil ver que $a_n=a_{n+3}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Con $a_1=1$, $a_2=0$ y $a_3=1$, concluimos que la secuencia $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia periódica no constante, por lo que el límite $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,a_n$ no puede existir.
Matthew Scouten
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¿Qué quieres decir con "este número"? Una interpretación razonable podría ser que estás esperando un límite de una secuencia de expresiones finitamente anidadas $a_n$: $$ 1, {1 \choose 2}, {1 \choose {2 \choose 3}}, {1 \choose {2 \choose {3 \choose 4}}}\ldots$$ Ahora, ${a \choose b} = 0$ si $b > a$, mientras que ${a \choose 0} = 1$ y ${a \choose 1} = a$. Por lo tanto, esta secuencia pasará por $1,0,1,1,0,1,\ldots$ y no habrá un límite.
Ten en cuenta que ${i\choose i+1} = 0$.
Entonces $A_2 ={1 \choose 2} = 0$,
$A_3 ={1\choose{2\choose 3}} = {1 \choose 0} = 1
Ahora $A_4={1\choose{2\choose {3\choose 4}}} = {1\choose{2\choose 0}} = {1\choose{1}} = 1
Finalmente $$A_5={1\choose{2\choose {3\choose {4\choose 5}}}} = {1\choose{2\choose {3 \choose 0}}} = {1\choose{2\choose 1}} = {1\choose 2} = 0$$
Si consideras una traducción $${1+1\choose{2+1\choose {3+1\choose {4+1\choose 5+1}}}} = {1+1\choose{2+1\choose {3+1 \choose 0}}} = {1+1\choose{2+1\choose 1}} = {1+1\choose 2+1} = 0$$
Por lo tanto encuentras un período para tu expresión.
Considera $$A_n = {1 \choose {2 \choose \underset{n}{\vdots} }}$$
Dado que $${k+1\choose{k+2\choose {k+3\choose {k+4\choose k+5}}}} = \ldots = 0 = {k+1\choose k+2}$$
Obtenemos $A_{10} = A_7 = A_4 = 1 $. Para el caso general toma $n \mod 3 = r$ $A_n = A_{r + 3}$ o puedes considerar $A_0 = 1, A_1 = 1$ entonces $$A_0 = A_3,A_1 = A_4, A_2= A_5 $$
Es decir, $A_n = A_r$ (donde $r = n \mod 3$)
