Cociente de diferencia a derivada parcial

Question

Definimos el cociente de diferencia de una función $f$ en $x$ en la dirección $l$ como $$\triangle^h_l f(x) = \frac{f(x+he_l)-f(x)}{h}$$ donde $e_l$ es el vector unitario en la dirección $l.

El libro que estoy leyendo afirma lo siguiente: Sea $f \in C^{1,\alpha}(\Omega)$ (una función $C^1$ también en el espacio de Hölder, aunque creo que todo lo que se está afirmando es usando $C^1$). Entonces $$\triangle^h_l f(x) = \frac{1}{h}\int_0^1{\frac{d}{dt}f(x+the_l)} = \int_0^1{D_lf(x+the_l)}$$ donde $D_l$ es la derivada parcial con respecto a $x_l$. La primera igualdad proviene de que $C^1$ es fácil de ver. ¿Cómo obtuvieron la segunda igualdad? Necesitas tomar un límite para esto, y ciertamente no lo hicimos aquí. ¿Estoy pasando por alto algo obvio?

(La referencia que se está utilizando es Gilbarg-Trudinger p. 110)

Answer 1

Ambas igualdades provienen del teorema fundamental del cálculo.

Sea $\phi(t) = f(x + t h e_l)$. Entonces $\phi'(t) = D f(x+ t h e_l) (h e_l) = h D f(x+ t h e_l) e_l= h D_l f(x+the_l) $.

Por lo tanto $\frac{f(x+he_l)-f(x)}{h} = \int_0^1 \frac{\phi'(t)}{h} dt = \int_0^1 D_l f(x+the_l) dt$.