Demuestra que todos los eigenvalores de una matriz simétrica real A están en el intervalo $[a,b]$ si y solo si el formulario cuadrático con la matriz $A-\lambda I$ es definido positivo para cualquier $\lambda b. Sé que para una matriz definida positiva los eigenvalores son estrictamente positivos y para una matriz definida negativa los eigenvalores son estrictamente negativos.
Respuesta
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Jonathan Davidson
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El teorema espectral afirma que cualquier matriz real simétrica es diagonalizable, es decir, existe una matriz ortogonal $P$ tal que $$P^{-1}AP = D$$ donde $D$ es una matriz diagonal que contiene los valores propios de $A$. Observemos, $$P^{-1}(A-\lambda I)P = P^{-1}AP-\lambda I = D-\lambda I$$ Recordemos que el proceso de conjugación por una matriz ortogonal no cambia el conjunto de valores propios de la matriz. Por lo tanto, $D-\lambda I$ tiene los mismos valores propios que $A-\lambda I$. Luego debemos relacionar los valores propios de $D$ (y por lo tanto los valores propios de $A$) con $D-\lambda I$. Pero esto es simple ya que la suma o resta de un múltiplo escalar de la matriz identidad desplaza cada una de las entradas (y, por lo tanto, los valores propios) por $\lambda$.
Si $D-\lambda I$ es definida positiva para cualquier $\lambda b$, entonces para cualquier valor propio $c$ de $D$, $c-b \leq 0$. Por lo tanto, $a \le c \le b$ para cualquier valor propio $c$.
