¿Alguien puede explicarme ¿qué es la intuición detrás de la siguiente definición de $p \Vdash^* \phi $?

Question

¿Alguien puede explicar qué es la intuición detrás de la siguiente definición?

Definición de 4.25 Deje $\Bbb P$ ser un poset. Deje $\phi(x_1,\ldots,x_n)$ ser una fórmula, $p\in\Bbb P$, y deje $\tau_1,\ldots,\tau_n$ $\Bbb P$- nombres. Definimos $p\Vdash^*\phi(\tau_1,\ldots,\tau_n)$ por la recursividad en la complejidad de $\phi$ como sigue.

1. $p\Vdash^*\tau_1=\tau_2$ si y sólo si el siguiente sostenga.

   1. Para todos los $\langle\pi_1,s_1\rangle\in\tau_1$, el conjunto de $$\{q: q\leq s_1\rightarrow\exists\langle\pi_2,s_2\rangle\in\tau_2(q\leq s_2\land q\Vdash^*\pi_1=\pi_2)\}$$ is dense below $p$.

   2. Para todos los $\langle\pi_2,s_2\rangle\in\tau_2$, el conjunto de $$\{q:q\leq s_2\rightarrow\exists\langle\pi_1,s_1\rangle\in\tau_1(q\leq s_1\land q\Vdash^*\pi_1=\pi_2)\}$$ is dense below $p$.

2. $p\Vdash^*\tau_1\in\tau_2$ si y sólo si el conjunto de $$\{q:\exists\langle\pi,s\rangle\in\tau_2(q\leq s\land q\Vdash^*\tau_1=\pi)\}$$is dense below $p$.
3. $p\Vdash^*\phi(\tau_1,\ldots,\tau_n)\land\psi(\tau_1,\ldots,\tau_n)$ si y sólo si $$p\Vdash^*\phi(\tau_1,\ldots,\tau_n)\text{ and }p\Vdash^*\psi(\tau_1,\ldots,\tau_n).$$

Sé que el signo $p \Vdash \phi(x_1,...,x_n)$ de alguna manera supongo que me dicen que para cualquier filtro genérico que contiene $p$, $M[G] \models \phi(x_1,...,x_n)$. Pero, ¿cuál es la conexiones a la definición de aquí arriba?

Gracias

Answer 1

Puesto que usted ya sabe que $\Vdash$ se define el uso de los filtros genéricos, y saben que un filtro genérico si y sólo si cumple con todos denso conjunto de la planta modelo, esto se convierte en toda una elección obvia de la definición.

Podemos probar por inducción sobre la complejidad de la fórmula, que si $p\Vdash^*\varphi(\tau)$$p\Vdash\varphi(\tau)$. La razón es que las fórmulas atómicas se definen con densos conjuntos, y como resulta que estas son densos bloques abiertos. Y la intersección de la densa abrir los conjuntos [a continuación una condición] es un denso conjunto abierto [por debajo de la condición].

Esto significa que $p\Vdash^*\varphi(\tau)$ si y sólo si cada filtro genérico $G$ tal que $p\in G$, tiene alguna condición por debajo de $p$ (y, por tanto, $p$ sí) que asegura que las $\varphi(\tau)$ es cierto. Así que la intuición, si tuviera que dar alguna para la definición, sería que $\Vdash^*$ se define como una condición "que se produce en las densas abrir los conjuntos [a continuación una condición]", y por lo tanto es equivalente a decir que es realizado por cada filtro genérico [que contiene dicha condición].

Una vez que vea la prueba de la equivalencia entre las dos relaciones, esto se hace muy evidente. Así que permítanme añadir un poco de motivación en su lugar. La razón para hacerlo es que, dada una fórmula $\varphi(\tau)$ en el idioma de forzar, la declaración de $p\Vdash^*\varphi(\tau)$ es definible internamente para el modelo de terreno. Entonces nos preguntamos si es o no una condición de las fuerzas de una fórmula o no, internamente. Así que no tenemos que usar un filtro genérico con el fin de averiguar si una declaración es independiente de $\sf ZFC$.

Es decir, si tenemos una obligando noción tal que $p\Vdash^*\varphi$$q\Vdash^*\lnot\varphi$, entonces sabemos que $\sf ZFC$ ni prueba ni refuta $\varphi$. Y esto puede ser "tirado" a la aritmética meta-teorías. Así que en lugar de usar $\sf ZFC$ como una meta-teoría y contables transitiva modelos de [fragmentos] $\sf ZFC$, se puede usar algo tan débil como $\sf PA$, e incluso más débil, ya que su meta-teoría y demostrar este tipo de consistencia de los resultados.