Posible nueva serie para $\pi$

Question

En un reciente (desafortunadamente sobrevalorado) preprint de Saha y Sinha, Expansión de la teoría de campos de amplitudes de la teoría de cuerdas (arXiv:2401.05733), presentan la siguiente serie para $\pi$: $$\pi = 4 + \sum_{n=1}^\infty {1\over n!} \biggl({1\over n+\lambda} - {4\over 2n+1}\biggr)\biggl({(2n+1)^2 \over 4(n+\lambda)} - n \biggr)_{n-1},$$ donde $\lambda$ es un número complejo arbitrario y el símbolo de Pochhammer $(x)_n := x(x+1)\cdots(x+n-1)$.

Dejando de lado la desafortunada cobertura de prensa, así como la pregunta sobre la importancia de esta fórmula para $\pi$, lo que me pregunto es si es nueva. Los autores son físicos, y buscar en la literatura este tipo de cosas no siempre es fácil, así que pensé que MathOverflow sería un lugar natural para preguntar.

Una pregunta relacionada, y tal vez más fácil, es si hay otras series conocidas para $\pi$ que involucren un parámetro complejo $\lambda$ en el sumando, pero donde la suma de la serie sea independiente del valor del parámetro.

Answer 1

Esta es una continuación de la no respuesta de @HenriCohen:

Notando que $$\tag{*}\label{eq:*} 1-\lambda+\frac{(\lambda-s_1)(\lambda-s_2)}{n+\lambda}= \frac{(n+s_1) (n+s_2)}{n+\lambda} -n-s_1-s_2+1$$ y (nota la gran confusión respecto a la notación de las potencias factoriales) utilizando el factorial (descendente) power $a^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1)$ en lugar del símbolo de Pochhammer alias el factorial ascendente $(a)_{n}=a(a+1)\cdots(a+n-1)$, la primera ecuación de Henri se simplifica a \begin{align} \frac{\Gamma(s_1)\Gamma(s_2)}{\Gamma(s_1+s_2-p)} =(-1)^p \sum_{n\ge 0}\frac{1}{n!}&\left(\frac{1}{n+s_1}+\frac{1}{n+s_2}-\frac{1}{n+\lambda}\right) \times{}\\ \tag{1}\label{eq:1} &{}\times\left(\frac{(n+s_1) (n+s_2)}{n+\lambda} -(1+s_1+s_2)\right)^{(n+p)}. \end{align} Nota que \begin{align}\tag{**}\label{eq:**} \frac{\partial}{\partial n}\ln\frac{(n+s_1) (n+s_2)}{n+\lambda} = \frac{1}{n+s_1}+\frac{1}{n+s_2}-\frac{1}{n+\lambda}. \end{align} De manera similar, la segunda ecuación de Henri se puede escribir como (uso $s_2$ en lugar de $x$ y agrego algunos ceros) \begin{align} \frac{\psi(1+s_2)+\gamma}{s_2}= \frac{H_{s_2}}{s_2}= \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n!}&\left(\frac{1}{n+0}+\frac{1}{n+s_2}-\frac{1}{n+\lambda}\right)\times{}\\ \tag{2}\label{eq:2} &{}\times\left(\frac{(n+0)(n+s_2)}{n+\lambda} -(1+0+s_2)\right)^{(n-1)}, \end{align} con los números armónicos $H_n$ (continuados analíticamente).

Las dos ecuaciones están relacionadas mediante una expansión en serie de Laurent de \eqref{eq:1} en $p=-1$ alrededor de $s_1=0$ de acuerdo a \begin{align}\tag{3}\label{eq:3} -\frac{\Gamma(s_1)\Gamma(s_2)}{\Gamma(s_1+s_2+1)} = -\frac{1}{s_1 s_2}+\frac{H_{s_2}}{s_2} + \mathcal{O}(s_1), \end{align} donde el término divergente $\frac{-1}{s_1 s_2}$ es igual al término $n=0$ en \eqref{eq:1}. El término constante en $s_1=0$ en esta expansión es el lado derecho de \eqref{eq:2}.

Finalmente, la tercera ecuación de Henri se da por el límite $s_2\to0$ de \eqref{eq:2}.

Tal vez, la ecuación \eqref{eq:**} arroje algo de luz sobre la discusión.