Posible nueva serie para $\pi$

Question

En un reciente (desafortunadamente sobrevalorado) preprint de Saha y Sinha, Expansión de la teoría de campos de amplitudes de la teoría de cuerdas (arXiv:2401.05733), presentan la siguiente serie para $\pi$: $$\pi = 4 + \sum_{n=1}^\infty {1\over n!} \biggl({1\over n+\lambda} - {4\over 2n+1}\biggr)\biggl({(2n+1)^2 \over 4(n+\lambda)} - n \biggr)_{n-1},$$ donde $\lambda$ es un número complejo arbitrario y el símbolo de Pochhammer $(x)_n := x(x+1)\cdots(x+n-1)$.

Dejando de lado la desafortunada cobertura de prensa, así como la pregunta sobre la importancia de esta fórmula para $\pi$, lo que me pregunto es si es nueva. Los autores son físicos, y buscar en la literatura este tipo de cosas no siempre es fácil, así que pensé que MathOverflow sería un lugar natural para preguntar.

Una pregunta relacionada, y tal vez más fácil, es si hay otras series conocidas para $\pi$ que involucren un parámetro complejo $\lambda$ en el sumando, pero donde la suma de la serie sea independiente del valor del parámetro.

Answer 1

Dado que tiene un parámetro libre $λ$ he intentado demostrarlo mediante el método de WZ. Sin embargo, parece que la función $G(n, λ)$ dentro de la suma no es hipergeométrica en sus dos símbolos $n$ y $\lambda$; es decir, $G(n+1, λ)/G(n, λ)$ y $G(n, λ+1)/G(n, λ)$ no son funciones racionales.

No he visto esta fórmula para $\pi$ antes en la literatura a pesar de que conozco muchas otras fórmulas. Aunque la serie no es buena para calcular $\pi$ (contrariamente a lo que se afirma en la prensa), podría tener algún interés. En el artículo también hay una fórmula del mismo estilo para $\zeta(2)$. Al tomar el límite de ella cuando $λ \to \infty$ obtenemos una serie alternante bien conocida con una mejor convergencia.

Answer 2

Jolley, Summation of Series, contiene muchas "series que involucran un parámetro $\lambda$ en el sumando, pero donde la suma de la serie es independiente del valor del parámetro". Aquí hay solo algunas (la suma no es generalmente $\pi$): $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{(2n-2)!\over n!(n-1)!}{x^n(x+\lambda)^n\over\lambda^{2n-1}}=x\tag{412} $$

$$ \sum_{k=1}^{\lambda}\cos{(2k-1)\pi\over2\lambda+1}={1\over2}\tag{424} $$

$$ \sum_{k=1}^{(n-1)/2}{1\over\sin^2k\lambda}={n^2-1\over6}{\rm\ donde\ }n{\rm\ es\ impar}\tag{439} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\cos(2n-1)\lambda={\pi\over4} {\rm\ donde\ }-{\pi\over2}<\lambda<{\pi\over2}\tag{506} $$

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{\sin(n+{1\over2})\lambda\over n+{1\over2}}={\pi\over2}{\rm\ donde\ }0<\lambda<\pi\tag{550} $$

Answer 3

Esta NO es una respuesta. Este tipo de serie que involucra símbolos de Pochammer $(a)_n$ con $a$ una función racional de $n$ es totalmente nueva para mí. Leyendo el documento, resumo a continuación lo que extraje (y simplifiqué) de él:

(1) Para $p\in{\mathbb Z}_{\ge-1}$ tenemos $$\dfrac{\Gamma(s_1)\Gamma(s_2)}{\Gamma(s_1+s_2-p)}=(-1)^p\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{1}{n+s_1}+\dfrac{1}{n+s_2}-\dfrac{1}{n+\lambda}\right)\left(1-\lambda+\dfrac{(\lambda-\ s_1)(\lambda-s_2)}{n+\lambda}\right)_{n+p}\;.$$ La fórmula para $\pi$ se obtiene al elegir $s_1=s_2=1/2$ y $p=-1$, pero en mi opinión la fórmula con $p=0$ es ligeramente más elegante.

(2) $$\psi(1+x)+\gamma=x\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{2n+x}{n^2+nx}-\dfrac{\ 1}{n+\lambda}\right)\left(1-\dfrac{\lambda(x+n)}{n+\lambda}\right)_{n-1}\;.$$

Al elegir $x=-1/2$ se obtiene una fórmula para $\log(2)$ similar (pero más simple) a la de para $\pi$.

(3) $$\zeta(2)=-\sum_{n\ge1}\dfrac{(n+2\lambda)}{\lambda n^2n!}\left(-\dfrac{n\lambda}{n+\lambda}\right)_n\;.$$

así como fórmulas similares pero más complicadas para $\zeta(j)$ para $j\ge3$.

Answer 4

Esto es solo una nota de que el caso $\lambda=1/2$ no es más que la representación del arcoseno de $\pi$.

En este caso, la identidad se convierte en $$\pi=4+\sum_{n\ge1}\frac1{n!}\left(-\frac2{2n+1}\right)\left(\frac12\right)_{n-1}$$ o equivalentemente, \begin{align}\pi&=4-2\sum_{n\ge0}\frac1{4^n(n+1)(2n+3)}\binom{2n}n\\&=4-2\left(\sum_{n\ge0}\frac1{4^n(n+1)}\binom{2n}n-2\sum_{n\ge0}\frac1{4^n(2n+3)}\binom{2n}n\right).\end{align} Usando $(1-x)^{-1/2}=\sum_{n\ge0}(x/4)^n\binom{2n}n$, tenemos \begin{align}\sum_{n\ge0}\frac1{4^n(n+1)}\binom{2n}n&=\int_0^1\frac1{\sqrt{1-x}}\,dx=2\\\sum_{n\ge0}\frac1{4^n(2n+3)}\binom{2n}n&=\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\frac\pi4\end{align} así que la identidad es verdadera.

Answer 5

Esta es una respuesta al post relacionado Proof of "Possible new series for $\pi$" without use of physics pero parece relevante también para esta pregunta. Supongo que esta fórmula es nueva tal como está, pero se desprende fácilmente de resultados clásicos.

Encontré una demostración elemental usando fracciones parciales. Esto está motivado por la observación de Nemo de que series de aspecto muy similar aparecen en el trabajo de Schlosser (Sección 7). La inversión de matrices utilizada por Schlosser está estrechamente relacionada con fracciones parciales, ver por ejemplo https://www.arxiv.org/abs/math/0309358.

Fijemos $\lambda$ y sea $t_1$ y $t_2$ variables que satisfacen $$t_1+t_2-\frac{t_1t_2}{\lambda}=1-\frac{1}{4\lambda}. $$ Por hechos elementales sobre expansiones de fracciones parciales, podemos escribir \begin{equation}\label{pf}\frac{(t_1+t_2+1)_n}{(t_1)_{n+1}(t_2)_{n+1}}=\sum_{k=0}^n A_k\left(\frac{1}{t_1+k}+\frac 1{t_2+k}-\frac 1{\lambda+k}\right), \qquad (1)\end{equation} donde $$A_k= \frac{(t_1+k)(t_1+t_2+1)_n}{(t_1)_{n+1}(t_2)_{n+1}}\Bigg|_{t_1=-k}.$$ El último término en (1) hace que cada término se anule en el límite $t_1\rightarrow\infty$, $t_2\rightarrow \lambda$ (y viceversa). Escribiendo $$a_k=t_1+t_2\Big|_{t_1=-k}=1-\frac{(2k+1)^2}{4(\lambda+k)}, $$ esto se puede simplificar a $$A_k=\frac{(a_k+1)_{k-1}(-1)^k}{k!(n-k)!(a_k+n+1)_{k}}. $$

Especializando $t_1=t_2=1/2$ en (1) obtenemos $$\frac{(2)_n}{(1/2)_{n+1}^2}=\sum_{k=0}^n \frac{(a_k+1)_{k-1}(-1)^k}{k!(n-k)!(a_k+n+1)_{k}}\left(\frac{4}{2k+1}-\frac 1{\lambda+k}\right). $$ Ahora multiplicamos ambos lados por $n!$ y dejamos que $n\rightarrow\infty$. El lado izquierdo se puede escribir $$\frac{\Gamma(n+2)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+3/2)^2}\cdot\frac{\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(2)}\rightarrow \frac{\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(2)}=\pi.$$ En el lado derecho, tenemos el factor $$\frac{n!}{(n-k)!(a_k+n+1)_{k}}=(-1)^{k}\frac{(-n)_{k}}{(a_k+n+1)_{k}}\rightarrow 1. $$ Esto nos da (no debería ser difícil justificar tomar el límite) \begin{align*}\pi&=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\left(\frac{4}{2k+1}-\frac 1{\lambda+k}\right)\left(2-\frac{(2k+1)^2}{4(\lambda+k)}\right)_{k-1}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(\frac 1{\lambda+k}-\frac{4}{2k+1}\right)\left(\frac{(2k+1)^2}{4(\lambda+k)}-k\right)_{k-1} , \end{align*} que es la identidad deseada.

Más generalmente, se podría empezar con variables que satisfacen $$t_1+t_2-\frac{t_1t_2}{\lambda}=x+y-\frac{xy}{\lambda}, $$ tomar la expansión de fracciones parciales de $$\frac{(t_1+t_2-p)_n}{(t_1)_{n+1}(t_2)_{n+1}}, $$ especializar $t_1=x$, $t_2=y$ y finalmente dejar que $n\rightarrow\infty$. Comprobé que esto da la ecuación (4) en el artículo de Sana y Sinha (donde $x=\alpha-s_1$, $y=\alpha-s_2$). Presumiblemente, otras identidades en su artículo se obtienen mediante variaciones adicionales del mismo argumento.