Estoy tratando de hacer este ejercicio:
Sea $n \in \Bbb{N}$. Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos tal que $\prod_{i=1}^n x_i = 1$. Demuestre que $\sum_{i=1}^n x_i \ge n$
Aquí está mi intento:
Sea $S = \{n \in \Bbb{N} | \sum_{i=1}^n x_i < n \}$ y $S \ne \emptyset$.
Según el principio de buena ordenación, S tiene un elemento menor.
Si $ n = 1$, tenemos:
$\prod_{i=1}^2 x_i = 1 \implies x_2 = \frac{1}{x_1} \implies \sum_{i=1}^2 x_i = \frac{x_1^2+1}{x_1}$
y $\frac{x_1^2+1}{x_1} \ge 2 \iff x_1^2+1 \ge 2x_1 \iff x_1^2 -2x_1 +1 \ge 0 \iff (x_1 - 1)^2 \ge 0$
Por lo tanto, 1 no es el menor elemento de S.
Sea k el menor elemento de S. Podemos concluir lo siguiente:
$k \ne 1 \implies k \ge 2 \implies (k-1) \in \Bbb{N} $ (1)
$\sum_{i=1}^k x_i < k \implies \sum_{i=1}^{k-1} x_i < k - x_k$ (2)
Si $\prod_{i=1}^k x_i = 1$ hay 3 casos:
(i). $\prod_{i=1}^{k-1} x_i = 1$ y $x_k = 1
(ii). $\prod_{i=1}^{k-1} x_i < 1$ y $x_k > 1
(iii). $\prod_{i=1}^{k-1} x_i > 1$ y $x_k < 1
Suponer los casos (i) o (ii) implicaría una contradicción con nuestra suposición de que k es el elemento menor porque tendríamos:
$\sum_{i=1}^k x_i < k \implies \sum_{i=1}^{k-1} x_i < k - x_k \le k-1$
Entonces $(k-1) \in S$ y $S = \emptyset$
En el caso (iii) estoy atascado. ¿Podemos derivar una contradicción suponiendo que $\prod_{i=1}^{k-1} x_i > 1$ y $x_k < 1$??? ¿O hay otro enfoque para este problema? Cualquier ayuda será apreciada.
