El Hamiltoniano libre no se tiene en cuenta explícitamente porque no influye en la dinámica de la interacción. En la imagen de Schrödinger, la evolución libre simplemente resulta en un cambio de fase, y en la imagen del espacio de fase esto corresponde a una rotación de los cuadratures. Por lo general, por lo tanto (a veces implícitamente) se considera un marco de referencia rotativo donde las evoluciones libres de los operadores de cuadratura son triviales.
Podemos justificar esto de manera más formal. El Hamiltoniano libre resulta en las siguientes evoluciones temporales de los operadores de creación y aniquilación:
$$ \dot{\hat{a}} = \frac{i}{\hbar}[\hbar\omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2}),\hat{a}] = i\omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\hat{a})=-i\omega\hat{a}\\ \dot{\hat{a}}\vphantom{\hat{a}}^{\dagger} = \frac{i}{\hbar}[\hbar\omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2}),\hat{a}] = i\omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger}\hat{a})= i\omega\hat{a}^{\dagger} $$
Las evoluciones temporales de los operadores de cuadratura son:
$$ \begin{align} \dot{\hspace{-0.6pt}\hat{X}} &= \frac{\dot{\hat{a}} + \dot{\hat{a}}\vphantom{\hat{a}}^{\dagger}}{\sqrt{2}} = \frac{-i\omega\hat{a}+i\omega\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2}} = \omega\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{i\sqrt{2}} = \omega\hat{P}\\ \dot{\hspace{-2pt}\hat{P}} &= \frac{\dot{\hat{a}} - \dot{\hat{a}} \vphantom{\hat{a}}^{\dagger}}{i\sqrt{2}} = \frac{-i\omega\hat{a}-i\omega\hat{a}^{\dagger}}{i\sqrt{2}} = -\omega\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2}} = -\omega\hat{X} \end{align} $$
Este sistema de ecuaciones diferenciales tiene una solución (para condiciones iniciales adecuadas):
$$ \begin{align} \hat{X}(t) &= \sin(\omega t)\\ \hat{P}(t) &= \cos(\omega t) \end{align} $$
Ahora puedes ver cómo algún estado inicial que evoluciona libremente simplemente rota en el espacio de fase, y como no nos importa esta rotación, optamos por ver los estados en este marco rotativo.
Actualización: pediste un argumento más formal. No queremos resolver la dinámica en el marco estacionario, porque en este marco el ángulo de compresión así como los estados están rotando continuamente y la descripción es mucho más complicada. Sin embargo, podemos hacer la transformación al marco rotativo formalmente y ver cómo el Hamiltoniano libre desaparece. Ver también esta excelente respuesta.
Sea el Hamiltoniano
$$ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{H}_I(t), $$
siendo la parte libre y trivialmente dependiente del tiempo $H_0$. El operador de evolución temporal para la evolución temporal libre es
$$ \hat{U} = \mathrm{exp}\left[-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{H}_0 d\tau\right]. $$
Sea $\hat{T} = \hat{U}^{\dagger}$ la transformación al marco rotativo. Notar que
$$ \frac{\partial \hat{T}}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}\hat{H}_0\hat{T} = \frac{i}{\hbar}\hat{T}\hat{H}_0. $$
En la imagen de Heisenberg, la transformación $\hat{T}$ actúa sobre el operador de aniquilación como
$$ \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger} \hat{a} \hat{T} = \hat{b}, $$
y queremos encontrar la evolución temporal del operador transformado $\hat{b}$:
$$ \tag{1} \frac{\partial \hat{b}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger} \hat{a} \hat{T} = \dot{\hat{T}}\vphantom{T}^{\dagger} \hat{a} \hat{T} + \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger} \dot{\hat{a}} \hat{T} + \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger} \hat{a} \dot{\hat{T}}. $$
Usando la evolución de Heisenberg $\dot{\hat{a}} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{a}]$, el término medio se puede reescribir como
$$ \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger} \dot{\hat{a}} \hat{T} = \frac{i}{\hbar}\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}(\hat{H}\hat{a}-\hat{a}\hat{H})\hat{T} = \frac{i}{\hbar} (\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{H}\hat{T}\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{a}\hat{T}- \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{a}\hat{T}\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{H}\hat{T}) = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}\vphantom{H}',\hat{b}], $$ donde $\hat{H}\vphantom{H}'=\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{H}\hat{T}$.
Para el primer término en el lado derecho de la ecuación (1) tenemos
$$ \dot{\hat{T}}\vphantom{T}^{\dagger} \hat{a} \hat{T} = -\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{a}\hat{T} = -\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 \hat{b} $$
y para el último término:
$$ \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger} a \dot{\hat{T}} = \frac{i}{\hbar} \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}a\hat{T}\hat{H}_0 = \frac{i}{\hbar} \hat{b}\hat{H}_0 $$
Juntando todo obtenemos
$$ \frac{\partial \hat{b}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 \hat{b}+ \frac{i}{\hbar}[\hat{H}\vphantom{H}',\hat{b}]+ \frac{i}{\hbar} \hat{b}\hat{H}_0 = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}\vphantom{H}',\hat{b}] - \frac{i}{\hbar} [\hat{H}_0,\hat{b}] $$
Dado que $\hat{T}\hat{H}_0 = \hat{H}_0\hat{T}$ tenemos
$$ \frac{i}{\hbar}[\hat{H}\vphantom{H}',\hat{b}] = \frac{i}{\hbar}[\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}H_0\hat{T}+\hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{H}_I\hat{T},\hat{b}] = \frac{i}{\hbar} [H_0,\hat{b}] + \frac{i}{\hbar}[\hat{H}\vphantom{H}'_I,\hat{b}] $$
con $\hat{H}\vphantom{H}'_I = \hat{T}\vphantom{T}^{\dagger}\hat{H}_I\hat{T}$. Finalmente obtenemos que
$$ \frac{\partial \hat{b}}{\partial t} = [\hat{H}\vphantom{H}'_I,\hat{b}], $$
o en otras palabras, en el marco rotativo el operador de aniquilación evoluciona solo bajo el Hamiltoniano de interacción.
