Teorema de la elevación del haz cotangente

Question

Sea $M$ una variedad suave y $T^\ast M$ su fibrado cotangente. Considera la forma tautológica $\theta$ en $T^\ast M$ ($\theta=\sum y_i dx^i$ en sistemas de coordenadas locales canónicas).

Un difeomorfismo $f:M\to M$ induce un levantamiento por tirón hacia atrás $F=f^\ast:T^\ast M\to T^\ast M. Parece que siempre tenemos$F^\ast\theta=\theta$. Pero no sé cómo verificar esto.

Acabo de escuchar el siguiente teorema de levantamiento del fibrado cotangente:

Si un difeomorfismo $F:T^\ast M\to T^\ast M$ preserva $\theta$, entonces $F=f^\ast$ para algún difeomorfismo $f:M\to M$.

Esto me parece demasiado fuerte. ¿Sabes cómo probar esto?

¡Gracias!

Answer 1

Solo necesitamos relajarnos y recordar definiciones.

Sea $\pi: T^*M \to M$ la proyección canónica. Dada una difeomorfismo de la base $f:M\to M$, la función de retroceso (pullback) $f^*:T^*M \to T^*M$ es nuevamente un difeomorfismo, y se tiene la conmutatividad $d(f^*) \circ d\pi=d\pi \circ df$, donde $df$ es el diferencial usual y $d(f^*):TT^*M \to TT^*M$. A partir de esta conmutatividad es fácil ver que en efecto $(f^*)^* \theta=\theta$, donde recordamos que la $1$-forma $\theta$ en $T^*M$ está definida como $\theta_{(p,\alpha)}(v)=\alpha_p(d\pi_{(p,\alpha)}(v))$, donde $v$ yace en el espacio tangente del 'punto' $(p,\alpha) \in T^*M$ en el haz cotangente.

Supongamos ahora que se nos da un difeomorfismo $F:T^*M \to T^*M$ del haz cotangente. Si $F$ no preserva las fibras de $\pi$, entonces no hay posibilidad de que $F$ sea inducido por un difeomorfismo de la base (incluso si $F^*\theta=\theta$). Suponiendo que $F$ $sí$ preserva las fibras, entonces obtenemos un difeomorfismo $f:M\to M$ de la base. Ahora nuestra tarea es mostrar que si $F^*\theta=\theta$, entonces $F=f^*$. Así que digamos que se nos da un difeomorfismo $G:T^*M \to T^*M$ con $G^*\theta=\theta$ y que induce el mapeo identidad en la base $M$. Tomar diferenciales nos da la relación útil $d\pi \circ dG =d\pi$. Por supuesto, estoy pensando en $G=F^{-1}\circ f^*$ y queremos encontrar si $G$ es el mapeo identidad.

Dado que $G$ induce el mapeo identidad en la base, el difeomorfismo $G$ induce en cada punto $p\in M$ un difeomorfismo de fibras $G_p:T^*_p M \to T^*_p M$. Es decir, $G$ actúa como $(p,\alpha)\mapsto (p, G_p\alpha)$. Queremos mostrar que $G_p$ es el mapeo identidad. Para esto, sea $(p,\alpha) \in T^*M$ y $v\in T_{(p,\alpha)}T^*M$. Ahora calculamos

$G^*\theta_{(p,\alpha)}(v)=\theta_{(p, G_p\alpha)}(dG(v)) =G_p\alpha(d\pi(dG(v))).$

Nuestra relación útil hace que esta última parte sea igual a $G_p\alpha(d\pi(v))$. Si $G^*$ preserva $\theta$, entonces debemos tener la igualdad $G_p\alpha(d\pi(v))=\alpha(d\pi(v))$ para todo $v$, es decir, $G_p$ es el mapeo identidad.

Answer 2

Solo como una nota al margen. La propuesta no implica que cada simpléctomorfismo de $T^*M$ sea la elevación cotangente de un difeomorfismo en $M$. Como ejemplo, sea $\sigma$ una forma cerrada distinta de cero en $M$ y considere el mapa $F(x,p) = (x,p + \sigma(x))$. Observar que $F$ no es la elevación cotangente de ningún difeomorfismo en $M$. Además, $F^*d \theta = d(F^*\theta) = d( \sigma^H + \theta) = d\sigma^H + d\theta = d\theta$, donde $\sigma^H$ es la forma en $T^*M$ obtenida por elevación horizontal. No hace falta decir que si $\sigma$ es cerrada, entonces también lo es $\sigma^H$. Así que $F$ conserva la forma simpléctica canónica $d\theta.