Creo que este es un resultado intuitivo. Si, por ejemplo, estaba trabajando con el primer número 11, podría dividirlo de la siguiente manera: $\{1, 10\}$, $\{2, 9\}$, $\{3, 8\}$, $\{4, 7\}$, $\{5, 6\}$.
Entonces claramente no hay manera que los números de $2$ pueden tener un gcd de distinto $1$. Sin embargo, soy tipo de perdidos sobre cómo iniciar una prueba formal para esto. Cualquier punteros sería mucho apreció.
Vamos a mostrar la contrapositive, porque ¿por qué no?
Por eso queremos mostrar eso si $a,b>0$ y $\gcd(a,b) \neq 1$, entonces su suma no es primordial.
Supongamos que $\gcd(a,b) = d > 1$. $a = a'd$ Y $b = b'd$ de algunos $a',b'$ los números naturales. Pero entonces $a + b = da' + db' = d(a' + b')$, y como cada uno de los $d,a',b' \geq 1$, tenemos que $a + b \geq 2d$, pero es divisibles por $d$. Por lo tanto no es primordial. $\diamondsuit$
Así si la suma de enteros positivos es primo, entonces su MCD es $1$.
Que $d$ ser su gcd. A continuación, $d$ divide a su suma $p$, $d$ puede ser solo 1 o $p$.
Si divide a $d = p$, entonces el $p$ $a$ y $b$. Puesto que ambos son positivos, son cada uno al menos $p$, por lo que su suma es al menos $2p$.
Me doy cuenta que esto es una reafirmación de la respuesta de mixedmath.
Esto se puede generalizar fácilmente para mostrar que esto es por la suma de $k$ enteros positivos $k \ge 2$.
$(a,b)|a$ Y $(a,b)|b,\ \ (a,b)|(pa+qb)$ donde a, b, p, q son números enteros.
Si (a, b) es no principal, $pa+qb$ no puede ser primer.
Así que, si es de $pa+qb$ prime, (a, b) debe ser.
Pero existe, p, q del opuesto paridad tal que $(a,b)=pa+qb$ (que es la identidad de Bézout).
En ese caso, naturaleza de primalidad de $pa+qb$ se será dictada por la de $(a,b)$.
Aquí es una prueba directa de que es independiente de los demás:
Deje $g = \gcd(a,b)$. Entonces podemos ver que $$g\mathbb{Z} = a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = \{n\in \mathbb{Z} | ra + sb = n, \text{for } r,s \in \mathbb{Z} \}.$$
En otras palabras, $g$ genera el conjunto de todos los enteros combinaciones de $a$$b$. (Si usted no está familiarizado con este, lo más probable es presentado como un teorema en su libro de texto.) Ya que estamos, $a+b=p$ () e $a+b$ es algún entero combinación de $a$$b$, $p$ debe ser en $g\mathbb{Z}$.
Si $p \in g\mathbb{Z}$, $g$ debe ser igual a $1$ o $p$ (desde $p$ es primo). Pero por el hecho de que $a$ $b$ son positivos y menos de $p$ (la suma de las dos es igual a $p$), $p$ no puede ser, posiblemente, el máximo común divisor, y mucho menos un divisor de ningún tipo. Por lo tanto,$g = 1$.
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