Aclarando por qué la compacidad en una topología implica la compacidad en una topología más gruesa

Question

Si $(X,\tau) $ es compacto y $\tau'\subseteq \tau$, entonces $(X,\tau')$ es compacto.

Ya he leído varios mensajes sobre el tema, pero aún no me queda claro. El argumento habitual es: "En un espacio más grueso, más conjuntos son compactos, básicamente porque hay menos cubrimientos abiertos que necesitan subcubrimientos finitos. Es decir, si un conjunto es compacto en la topología más fina, entonces también lo es en la topología más gruesa." (como se encuentra aquí ¿Qué nos dice la compacidad en una topología sobre la compacidad en otra topología (más gruesa o más fina)?)

Pero aún no estoy muy convencido, específicamente porque, si voy a una topología más gruesa, faltan algunos conjuntos abiertos con respecto a la topología inicial, ¿y si necesitara esos conjuntos para extraer el subcubrimiento fino, qué garantiza que no sean necesarios?

Answer 1

El argumento habitual es la prueba, que es muy corta y directa:

Sea $\mathscr{U}\subseteq\tau'$ un recubrimiento $\tau'$-abierto de $X$. Entonces $\mathscr{U}\subseteq\tau$, por lo que $\mathscr{U}$ es un recubrimiento $\tau$-abierto de $X$, y por lo tanto hay un $\mathscr{R}\subseteq\mathscr{U}$ finito que cubre $X$. $\mathscr{R}\subseteq\mathscr{U}\subseteq\tau'$, por lo que $\mathscr{R}$ es un subrecubrimiento finito $\tau'$-abierto de $\mathscr{U}$, y por lo tanto $\langle X,\tau'\rangle$ es compacto.

En otras palabras, si comenzamos con un recubrimiento $\tau'$-abierto $\mathscr{U}$, automáticamente también es un recubrimiento $\tau$-abierto, por lo que tiene una subfamilia finita que cubre $X$. Los elementos de esa subfamilia son miembros de $\mathscr{U}$, por lo que tenemos el subrecubrimiento finito deseado; no se pueden necesitar conjuntos adicionales, porque solo estamos usando conjuntos que están en el recubrimiento original $\mathscr{U}$.

Sería diferente si estuviéramos pidiendo una refinación abierta con alguna propiedad particular en lugar de un subrecubrimiento: entonces podríamos necesitar algunos de los conjuntos en $\tau\setminus\tau'$. Por ejemplo, sea $\tau'$ cualquier topología no paracompacta en $X$, y sea $\tau$ la topología discreta. Luego $\tau'\subseteq\tau$, $\langle X,\tau\rangle$ es paracompacto, y $\langle X,\tau'\rangle$ no es paracompacto.

Answer 2

Puede ser útil pensar en lo que sucede si el conjunto fuera de alguna manera compacto en la topología más fina, pero no en la topología más gruesa. Si $X$ es compacto en $\tau$ pero no compacto en $\tau'$, entonces hay un recubrimiento abierto $\mathcal{U}$ de $X$ en $\tau'$ que no admite ningún subrecubrimiento finito. Sin embargo, dado que $\tau'$ \subseteq \tau$ también tenemos que $\mathcal{U}$ es un recubrimiento abierto de $X$ en $\tau$, lo cual es un problema porque esto significa que $X$ también no es compacto en $\tau.$

Answer 3

Una cubierta abierta con respecto a la topología más gruesa también es una cubierta abierta con respecto a la más fina, esto debería ser claro. Debido a la compacidad con respecto a la topología más fina, podemos encontrar un subcubrimiento abierto finito con respecto a la topología más fina. Este subcubrimiento solo contiene elementos que son abiertos con respecto a la topología más fina, que también son abiertos con respecto a la topología más gruesa. Esto significa que el subcubrimiento finito que encontramos también es abierto con respecto a la topología más gruesa.