Mostrar que $\lim_{\alpha \to \infty} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \phi_{\alpha}(x - x_0) dx = f(x_0)$

Question

Dada una función integrable $\phi: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ con la propiedad $\int_{\mathbb{R}^n} \phi dx = 1$. Definimos para $\alpha > 0$ la función reescalada $\phi_\alpha(x):= \alpha^n \phi(\alpha x) $. Ahora debo demostrar que para cada función continua y acotada $f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ y para cada $x_0 \in \mathbb{R}^n$ se cumple lo siguiente:

$\lim_{\alpha \to \infty} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \phi_{\alpha}(x - x_0) dx = f(x_0)$

Entonces he investigado y encontrado que las propiedades de $\phi$ son muy similares a algo llamado la función delta de Dirac $\delta$. Una propiedad de $\delta$ es que $|\alpha| \delta(\alpha x) = \delta(x)$.

Ahora voy a demostrar que algo similar se cumple para $\phi$, lo que significa que demostraré que $\alpha^n \phi(\alpha x) = \phi(x)$ ($\alpha$ ya es $>0$ así que puedo omitir el valor absoluto).

Usando sustitución multivariable ($u = \alpha x$):

$\int_{\mathbb{R}^n} \alpha^n \phi(\alpha x) dx = \int_{\mathbb{R}^n} \alpha^n \phi(u) \frac{1}{\alpha^n} du = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(u)du = 1$

Si esto es correcto, mi problema se vuelve más fácil y solo tengo que mostrar que

$\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\phi(x-x_0) = f(x_0)$

No estoy seguro de cómo continuar a partir de este punto, pero mi conjetura sería que usar la propiedad de que $f$ es acotada podría ser útil. Además, por favor corrijanme en los errores que haya cometido hasta ahora.

EDIT: Gracias por la ayuda en los comentarios, quizás haya descubierto cómo corregir mis errores y continuar:

Usando sustitución multivariable ($u = \alpha x - \alpha x_0$):

$\lim_{\alpha \to \infty} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \alpha^n \phi(\alpha x) dx = \lim_{\alpha \to \infty} \int_{\mathbb{R}^n} f(x_0 +\frac{u}{\alpha}) \phi(u) du$

Ahora, si es posible obtener el $\lim$ dentro de la integral, tenemos:

$\int_{\mathbb{R}^n} \lim_{\alpha \to \infty} f(x_0 +\frac{u}{\alpha}) \phi(u) du = \int_{\mathbb{R}^n} f(x_0) \phi(u) du = f(x_0)\int_{\mathbb{R}^n} \phi(u) du = f(x_0)$

¿Es esto correcto? Si es así, ¿qué teorema puedo usar para llevar el límite dentro de la integral?

Answer 1

Estoy asumiendo que por función integrable, te refieres a que:

$\int_{\mathbb{R}^n}\phi(x)dx= \underset{R\rightarrow \infty}{\lim} \int_{ \{ \Vert x\Vert\leq R \} }\phi(x)dx$.

Luego, probar que $f(x)\cdot \phi_{\alpha}(x-x_0)$ es integrable es demostrar que:

$\underset{R\rightarrow \infty}{\lim} \int_{ \{ \Vert x\Vert\leq R \} } f(x) \phi_\alpha(x-x_0)dx=\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \phi_{\alpha}(x - x_0) dx$

Entonces, mediante la integrabilidad de $f(x)\cdot \phi_{\alpha}(x-x_0)$ puedes pasar al límite. Para demostrar la integrabilidad, sería útil recordar que $f$ está acotado.

Answer 2

Puedes usar el Teorema de Convergencia Dominada. Vamos a verificar que se cumplen las hipótesis.

1. Por continuidad, $\lim_{\alpha\to\infty} f\Bigl(x_0 +\dfrac{u}{\alpha}\Bigr)\, \phi(u) =f(x_0)\,\phi(u)$ para todo $u$.
2. Sea $M$ una cota para $f$. Entonces $\Bigl|f\Bigl(x_0 +\dfrac{u}{\alpha}\Bigr)\, \phi(u)\Bigr|\le M\,|\phi(u)|$, y $M\,|\phi(u)|$ es integrable e independiente de $\alpha$.