Motivación para la hipercohomología

Question

¿Alguien puede explicarme esta parte del artículo de Wikipedia sobre hipercohomología?

https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperhomolog%C3%ADa

Resulta que la hipercohomología proporciona técnicas para construir una secuencia exacta larga asociada cohomológicamente similar a partir de una secuencia exacta larga arbitraria $$ 0 \rightarrow M_{1} \rightarrow M_{2} \rightarrow \cdots \rightarrow M_{k} \rightarrow 0 $$ ya que sus entradas están dadas por complejos de cadenas en lugar de solo objetos de una categoría abeliana. Podemos convertir este complejo de cadenas en un triángulo distinguido (usando el lenguaje de las categorías trianguladas en una categoría derivada)

$$ M_{1} \rightarrow\left[M_{2} \rightarrow \cdots \rightarrow M_{k-1}\right] \rightarrow M_{k}[-k+3] \stackrel{+1}{\longrightarrow}$$

No entiendo cómo puede ser un triángulo distinguido, intenté desentrañar el triángulo dado pero no pude averiguar cuáles son las morfismos.

Además, quería preguntar por qué alguien podría querer considerar la hipercohomología en absoluto, o la cohomología de secuencias hechas por complejos de cadenas.

Answer 1

Considera el siguiente diagrama:

$$\require{AMScd} \begin{CD} &&&& 0 \\ &&&& @VVV \\ &&&& M_1 && 0 \\ &&&& @VVV @VVV \\ 0 @>>> M_1 @>>> M_2 @>>> C @>>> 0 \\ & @VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>> 0 @>>> M_3 @>>> M_3 @>>> 0 \\ & @VVV @VVV @VVV \\ && \vdots && \vdots && \vdots && \\ & @VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>> 0 @>>> M_{k-2} @>>> M_{k-2} @>>> 0 \\ & @VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>> 0 @>>> M_{k-1} @>>> M_{k-1} @>>> 0 \\ &&&& @VVV @VVV \\ &&&& M_k && M_k \\ &&&& @VVV @VVV \\ &&&& 0 && 0 \end{CD}$$

Las filas son exactas, por lo que tenemos un triángulo distinguido, $M_1 [0] \to [M_2 \to \cdots \to M_{k-1}] \to [C \to \cdots M_{k-1}] \to $. Pero las columnas también son exactas, por lo que tenemos la siguiente cuasi-isomorfismo: $$\begin{CD} C @>>> 0 \\ @VVV @VVV \\ M_3 @>>> 0 \\ @VVV @VVV \\ \vdots && \vdots \\ @VVV @VVV \\ M_{k-2} @>>> 0 \\ @VVV @VVV \\ M_{k-1} @>>> M_k \end{CD}$$ Por lo tanto tenemos el triángulo distinguido reclamado $M_1 [0] \to [M_2 \to \cdots \to M_{k-1}] \to M_k [-k + 3] \to$.