Verificación de Prueba. Teoría de Grupos.

Question

Esta es una verificación de prueba. Tengo miedo de que tal vez me haya perdido algo (principalmente desde un punto de vista de teoría de números) y no me di cuenta de que podría haber más casos de los que pensaba. O tal vez usé un argumento circular o algo por el estilo. También podría haber pruebas más fáciles para este problema, no busco algo así. (Puedes escribirlas, pero no contarán como una respuesta). También podría haber escrito argumentos innecesarios en relación con enfoque de esta prueba. No en relación con alguna otra prueba más pequeña. Si la prueba está mal, estás invitado a señalar por qué y dónde está mal y llevar el camino correcto.

$\textbf {PROBLEMA}$:

Si $G$ es de orden $p^{n}$ donde $p$ es primo. Entonces, todo subgrupo de orden $|H|=p^{n-1}$ es normal.

$ \textbf {PRUEBA}$: Sé que existe un homomorfismo $\phi:G \rightarrow S_p$ con $ker(\phi) < H$. (de hecho, es la acción de grupo de $G$ en el conjunto de cosets izquierdos de $H$)

Ahora sé que $$|G|=[G:\ker\phi]|\ker\phi|$$. También sé que $[G:\ker\phi]=|G/\ker\phi|=|\phi(G)|$.

Ahora $|\phi(G)| \mid |S_p|$ $\Rightarrow $ $$|\phi(G)| \mid 1\cdot2\cdot 3...\cdot p$$.

También tengo $|\ker\phi| \mid |H| \Rightarrow |\ker\phi| \mid p^{n-1} |$ así que Dejemos $|\ker\phi|=p^{k}$ donde $k

Entonces de la ecuación
$|G|=[G:\ker\phi]|\ker\phi|$ obtengo $$p^{n}=a\cdot p^{k} \Rightarrow p^{L}=a $$ donde $L \geq 2$ . Eso no puede ser ya que entonces $$p^{L} \mid (1\cdot2\cdot3\cdot ....p) \Rightarrow p^{L-1} \mid (1\cdot2\cdot3\cdot ....p-1)$$ lo cual es obviamente una contradicción. Así que $$|\ker\phi|=p^{n-1}$$ y ya que $ker\phi$ es un subgrupo de $H$ con el mismo orden, son iguales y se sabe que el núcleo es normal.

Answer 1

Creo que tu argumento es la idea correcta, pero podría ser expresada de manera más sucinta.

Estableciste que $\operatorname{ker}(\phi)$ está contenido en $H$ (de hecho, $\operatorname{ker}(\phi)$ es el núcleo de $H$), por lo tanto $|\operatorname{ker}(\phi)| \leq p^{n-1}$. Dado que $|G| = p^n = |\phi(G)| |\operatorname{ker}(\phi)|$, esto significa que $|\phi(G)| \geq p$. Pero $|\phi(G)|$ divide a $p!$, y la mayor potencia de $p$ que divide a $p!$ es $p$, por lo que esto obliga a que $|\phi(G)| = p$, por lo tanto $|\operatorname{ker}(\phi)| = p^{n-1}$. Por lo tanto, $\operatorname{ker}(\phi)$ debe ser todo $H$, por lo tanto $H$ es un núcleo de un homomorfismo, por lo tanto $H$ es normal.