La intuición es silenciosa: Encuentra la probabilidad de que el círculo más pequeño que contiene $n$ puntos aleatorios en un disco se encuentre completamente dentro del disco, a medida que $n\to\infty

Question

En un disco, elige $n$ puntos aleatorios de forma uniforme. Luego, dibuja el círculo más pequeño que encierra esos puntos. (Aquí hay algunos algoritmos para hacerlo.)

El círculo puede o no estar completamente dentro del disco. Por ejemplo, con $n=7$, aquí hay ejemplos de ambos casos.

¿Cuál es $\lim\limits_{n\to\infty}\{\text{Probabilidad de que el círculo esté completamente dentro del disco}\}$?

¿Es la probabilidad límite $0$? ¿O $1$? ¿O algo intermedio? Mi intuición geométrica no me dice nada.

El caso $n=2$

Solo he podido encontrar que, cuando $n=2$, la probabilidad de que el círculo más pequeño que encierra esté completamente dentro del disco, es $2/3$.

Sin pérdida de generalidad, asume que el perímetro del disco es $x^2+y^2=1$, y los dos puntos son $(x,y)$ y $(0,\sqrt t)$ donde $t$ está uniformemente distribuido en $[0,1]$.

El círculo más pequeño que encierra tiene centro $C\left(\frac{x}{2}, \frac{y+\sqrt t}{2}\right)$ y radio $r=\frac12\sqrt{x^2+(y-\sqrt t)^2}$. Si el círculo más pequeño que encierra está completamente dentro del disco, entonces $C$ está dentro de $1-r$ del origen. Es decir,

$$\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y+\sqrt t}{2}\right)^2}\le 1-\frac12\sqrt{x^2+(y-\sqrt t)^2}$$

lo cual es equivalente a

$$\frac{x^2}{1-t}+y^2\le1$$

El área de esta región es $\pi\sqrt{1-t}$, y el área del disco es $\pi$, por lo que la probabilidad de que el círculo más pequeño que encierra esté completamente dentro del disco es $\sqrt{1-t}$.

Integrando desde $t=0$ hasta $t=1$, la probabilidad es $\int_0^1 \sqrt{1-t}dt=2/3$.

Edit

A partir de los comentarios, @Varun Vejalla ha realizado pruebas que sugieren que, para valores pequeños de $n$, la probabilidad (de que el círculo que encierra esté completamente dentro del disco) es $\frac{n}{2n-1}$, y que la probabilidad límite es $\frac12$. Debería haber una manera de demostrar estos resultados.

Edit2

Busco generalizar esta pregunta aquí.

Answer 1

Respuesta intuitiva:

Sea $R_d$ el radio del disco y sea $R_e$ el radio del círculo que contiene a los puntos aleatorios en el disco y sea $R_p$ el radio de un círculo que pasa por los puntos más externos de manera que todos los puntos aleatorios seleccionados en el disco se encuentren en o dentro de $R_p$.

La respuesta a esta pregunta depende altamente de las definiciones exactas y precisas de los términos y frases utilizados en la pregunta.

Suposición 1: ¿La definición de "disco contenedor ...(de los puntos)... se encuentra completamente en el disco" incluye el caso de que el círculo contenedor se encuentre exactamente en el perímetro del disco? Es decir, ¿significa $R_e < R_d$ o $R\leq R_d$? Supondré la última opción.

Suposición 2: ¿El círculo contenedor más pequeño de los puntos incluye el caso de que algunos de los puntos incluidos se encuentren en el disco contenedor? Es decir, ¿significa $R_e > R_p$ o $R_e = R_p$? Supondré la última opción.

Es bien sabido que un círculo puede ser definido por un mínimo de 3 puntos no colineales. La pregunta ahora se reduce a "Si hay un número infinito de puntos en el disco, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 de los puntos se encuentren en el perímetro del disco?"

La intuición dice que si hay un número infinito de puntos que están en o dentro del perímetro del disco, entonces la probabilidad de que haya exactamente 3 puntos en el perímetro del disco es exactamente uno. Si hay al menos 3 puntos exactamente en el perímetro del disco, entonces el círculo contenedor se encuentra completamente en el disco, por lo que la respuesta a la pregunta del OP es:

"La probabilidad de que el círculo más pequeño que contiene $n$ puntos aleatorios en un disco se encuentre completamente en el disco, a medida que $n\to\infty$, es 1.

Si definimos el significado de "el círculo contenedor se encuentra completamente en el disco" estrictamente como $R_e < R_d$ entonces las cosas se complican. Ahora la pregunta se reduce a "¿Cuál es la probabilidad de que un número infinito de puntos aleatorios en el disco no tengan ningún punto exactamente en el perímetro del disco?"

Si alguno de los puntos aleatorios se encuentran exactamente en el perímetro del disco, entonces el círculo contenedor toca el perímetro del disco y por las definiciones de esta interpretación alternativa de la pregunta, el círculo contenedor no se encuentra completamente dentro del perímetro del disco. La probabilidad intuitiva de colocar un número infinito de puntos aleatorios en el disco sin que ninguno de los puntos caiga exactamente en el perímetro del disco es cero, por lo que la respuesta a esta interpretación alternativa de la pregunta es:

"La probabilidad de que el círculo más pequeño que contiene $n$ puntos aleatorios en un disco se encuentre completamente en el disco, a medida que $n\to\infty$ = 0.