¿El conjunto singleton está abierto en $\Bbb Q$ con topología de subespacio y cuáles son los conjuntos conectados de esta topología?

Question

Creo que {$x$} no está abierto en $\Bbb Q$ ya que si tomo cualquier conjunto abierto $G$ en $\Bbb R$, entonces la intersección de $G$ con $\Bbb Q$ nunca es el conjunto unitario {$x$} ya que {$x$} no es abierto en $\Bbb R$ y cualquier conjunto abierto en $\Bbb R$ tiene infinitos racionales en ella.
¿Estoy en lo correcto?

Otra pregunta, ¿cuáles son los conjuntos conexos en esta topología de subespacio en $\Bbb Q$?

Answer 1

Tu razonamiento es correcto.

$\{x\}$ no es abierto en $\Bbb{Q}$.

Ahora afirmo que los únicos subconjuntos conexos de $\Bbb{Q}$ son subconjuntos unitarios.

Supongamos que $A\subset \Bbb{Q}$ es conexo.

Sea $x\neq y \in \Bbb{Q} $

Entonces, $\exists r\in \Bbb{R} \setminus \Bbb{ Q} $ tal que $x

Y $A = A\cap (-\infty , r) \cup A\cap (r, \infty) $

Implica que $A$ no es conexo.

Por lo tanto, todas las componentes conexas son conjuntos de un solo punto.

Answer 2

Para ver que los singlentos no están abiertos, hay que tener en cuenta que para cada $x\in\mathbb{Q}$, existe una secuencia $q_n\in\mathbb{Q}\setminus\{x\}$ con $q_n\to x$, por lo que $x$ está contenido en la clausura de $\mathbb{Q}\setminus\{x\}$. Dado que $\mathbb{Q}\setminus\{x\}$ no es igual a su clausura, no es cerrado y, por lo tanto, su complemento $\{x\}$ no es abierto.

$\mathbb{Q}$ es un espacio totalmente desconectado, lo que significa que sus únicos subconjuntos conectados son los singlentos. Para ver esto, se debe suponer que $A\subseteq\mathbb{Q}$ es conectado y que $A$ no es un singlento. Entonces existen $a,b\in A$ con $a\neq b$. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que $a.

Dado que $A$ es conectado y está contenido en $\mathbb{R}$, es pato-conectado, por lo que existe un $p:[0,1]\to A$ continuo con $p(0)=a$ y $p(1)=b$. Se elige $v\in(a,b)\setminus\mathbb{Q}$. A partir del Teorema del Valor Intermedio, se deduce que existe un $c\in[0,1]$ tal que $p(c)=v\notin\mathbb{Q}$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, los componentes conectados de $\mathbb{Q}$ son los singlentos.