¿Por qué usamos el determinante para la distribución normal multivariada?

Question

Mientras aprendo estadística, tengo una pregunta ¿por qué se usa el determinante en la distribución normal multivariante?

Cuando busco la respuesta en internet, hasta ahora cada respuesta que he visto básicamente dice que funciona, así que lo usamos.

Pero lo que quiero saber es si hay una relación matemática entre la distribución normal multivariante y el determinante (factor de volumen de la transformación lineal u otra definición).

Había una respuesta que decía que al usar el determinante podemos hacer que la integral de la densidad sobre $R^{n}$ sea igual a $1$. Esto suena bien, pero si hay otra intuición, por favor compártela.

Answer 1

No creo que haya algo más detrás de la apariencia del determinante de la matriz de covarianza, $\ \Sigma\ $, digamos, más allá del hecho de que si $\ \det(\Sigma)\ne 0\ $ entonces $\ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^\top \Sigma^{-1}(x-\mu)}dx = (2\pi)^{\frac{n}{2}}\sqrt{\det(\Sigma)}\ $, entonces $\ N=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\det(\Sigma)^ {-\frac{1}{2}}\ $ es el factor de normalización para el cual $\ N\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^\top \Sigma^{-1}(x-\mu)}dx = 1\ $.

La integral $\ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^\top \Sigma^{-1}(x-\mu)}dx\ $ se puede evaluar mediante un cambio de variables de $\ x\ $ a $\ y= U(x-\mu)\ $, donde $\ U\ $ es la matriz ortogonal que diagonaliza $\ \Sigma\ $: $$ U^\top\Sigma U=\pmatrix{\sigma_1&0&\dots&0\\ 0&\sigma_2&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots& \sigma_n}\ . $$ Porque $\ \Sigma\ $ es una matriz definida positiva siempre que $\ \det(\Sigma)\ne 0\ $, $\ U\ $ siempre existe, los autovalores $\ \sigma_1, \sigma_2, \dots,\sigma_n\ $ de $\ \Sigma\ $ son todos positivos, y $\ \det(\Sigma)=\sigma_1\sigma_2\dots\sigma_n\ $.

Porque las matrices ortogonales preservan el volumen, el cambio de variables nos da \begin{align} \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^\top \Sigma^{-1}(x-\mu)}dx&=\int_{U^{-1}\mathbb{R}^n+\mu}e^{-\frac{1}{2} y^\top U\Sigma^{-1} U^{-1}y}dy\\ &= \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{2} y^\top\left(U^\top\Sigma U\right)^{-1}y}dy\\ &= \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{y_1^2}{2\sigma_1}- \frac{y_2^2}{2\sigma_2}-\dots-\frac{y_n^2}{2\sigma_n}}dy\\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y_1^2}{2\sigma_1}}dy_1 \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y_2^2}{2\sigma_2}}dy_2\dots\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y_n^2}{2\sigma_n}}dy_n\\ &=\sqrt{2\pi\sigma_1}\sqrt{2\pi\sigma_2}\dots \sqrt{2\pi\sigma_n}\\ &= (2\pi)^\frac{n}{2}\sqrt{\det(\Sigma)} \end{align}