El grupo de Galois de $\mathbb Q(\zeta_{np}) / \mathbb Q(\zeta_{n/p})$ es cíclico para un primo $p\mid n$.

Question

He estado leyendo un documento que utiliza sin demostración el siguiente resultado:

Sea $n \in \mathbb N$ y $p$ un divisor primo de $n$. Para un entero positivo $m$, por $\zeta_m$ nos referimos a una raíz primitiva $m$-ésima de la unidad, de modo que $\mathbb Q(\zeta_m)$ es simplemente el campo ciclotómico $m$-ésimo. Entonces el grupo de Galois $G:= \text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_{np}) / \mathbb Q(\zeta_{n/p}))$ es cíclico.

No me queda claro por qué esto es cierto. Observé que el orden de $G$ es igual a $p(p-1)$ (respectivamente $p^2$) cuando $p$ divide exactamente a $n$ (respectivamente cuando $p^2|n$), pero hay al menos un grupo no cíclico con estos órdenes. También intenté usar el resultado de que el grupo de Galois de un compositum de extensiones de Galois es el producto de los grupos de Galois de las extensiones consideradas, pero sin éxito. ¿Qué me falta? Gracias.

Answer 1

Daré detalles para el caso cuando $p$ divide a $n$ pero $p^2$ no divide a $n$ y te dejaré generalizar.

Luego $n=pm$ para algún entero $m$ coprimo con $p$ y tenemos $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{n/p})/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ y similarmente $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{np})/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/p^2m\mathbb{Z})^{\times}$.

Por el teorema fundamental de la teoría de Galois, $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{np})/\mathbb{Q})/ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{np})/\mathbb{Q}(\zeta_{n/p})) \cong \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{n/p})/\mathbb{Q})$.

Ahora nota que como $p \nmid m$, $(\mathbb{Z}/p^2m\mathbb{Z})^{\times} \cong (\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})^{\times} \times (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ (por el Teorema del Resto Chino). Ahora tenemos (abstractamente) $(\mathbb{Z}/p^2m\mathbb{Z})^{\times} / \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{np})/\mathbb{Q}(\zeta_{n/p})) \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ y así por el isomorfismo anterior $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{np})/\mathbb{Q}(\zeta_{n/p})) \cong (\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})^{\times}$, que es bien conocido por ser cíclico de orden $p(p-1)$.