Cambiar tiempo para el Movimiento Browniano

Question

Es bien sabido que cualquier martingala local de Itô de la forma $dX_t=Y_sdB_s$ con la condición inicial $X_0=0$ y $Y_s$ siendo adaptada, continua, y localmente cuadrado integrable puede ser reparametrizada como un movimiento Browniano definiendo: $$\tau_t:= \inf\{s \geq 0: \int_0^s Y_u^2du = t\}$$ Y tenemos que el proceso $X_{\tau_t}$ es un movimiento Browniano (con un cambio adecuado de filtración). ¿Es posible hacer lo mismo cuando $Y_s$ muestra una explosión temporal finita? Específicamente si $\lim_{t \to \infty}\tau_t <\infty$ con probabilidad positiva. ¿Funciona el mismo método?

El contexto de este problema es que mi profesor mencionó vagamente sobre la existencia de tales teoremas y estoy intentando encontrar una referencia para esto. Mi suposición es que esto es demostrable con la caracterización de Browniano de Lévy, pero aún no he avanzado mucho en eso. Así que estoy preguntando para ver si alguien conoce dicho teorema y, de ser así, ¿podrían proporcionar una fuente (no estoy pidiendo ayuda para demostrar esto por mí mismo y solo quiero ver si está escrito en algún lugar)?

Answer 1

Este es un problema complicado porque para poder definir la integración estocástica en el tiempo $t=T$

$$M_{t}=\int_{0}^{T} Y_{s}dB_{s},$$

necesitamos tener la existencia de la variación cuadrática esperada, es decir, $E[\langle M\rangle_{T}]<\infty$. Por ejemplo, en el problema 4.11 de Shreve-Karatzas de la sección 3.4, la integral $\int^{1}_{0}X_{s}dB_{s}$ está indefinida en el evento

$$E:=\left\{ \int^{1}_{0}X_{s}^{2}ds=+\infty \right\}.$$

Entonces, en lugar de eso, para aplicar el teorema de Dubins-Schwarz para martingalas locales (Movimiento Browniano Cambiado en el Tiempo)

Teorema 1 Cualquier martingala local continua X con $X_0=0$ es un cambio en el tiempo continuo de un movimiento Browniano estándar (posiblemente bajo una ampliación del espacio de probabilidad).

necesitamos truncar de alguna manera, por ejemplo. $X_{s}:=Y_{s}\wedge M$.