Dado un espacio de Banach o Hilbert $X$, ¿cuándo se pueden construir los espacios $\mathcal{L}_p(X)$?

Question

Los espacios $\mathcal{L}_p(\mathbb{R})$ consisten en las funciones reales $f$ para las cuales $$\int_0^\infty |f(x)|^pdx < +\infty.$$ De manera similar, $\mathcal{L}_p(\mathbb{R}^n)$ puede ser interpretado naturalmente como el espacio con elementos $[f_1,f_2,\dots,f_n]^{tr}$ tal que cada $f_k$ es una función de los números reales y $$\int_0^\infty \left(\sum_{k=1}^n|f_k(x)|^2\right)^{p/2}dx < +\infty.$$ ¿Existe un procedimiento general para asignar tales espacios $\mathcal{L}_p$ a funciones de un espacio de Banach / Hilbert / Hilbert separable $X$?

Answer 1

El concepto que estás buscando se llama el espacio de Bochner y se puede construir para cada espacio de Banach $X$ y cada $p\in [1,\infty]$.

Gran parte de la teoría de los espacios $L^p$ se puede aplicar. Una sutilidad notable es que no es cierto en general que el dual de $L^p(X)$, $1\le p<\infty$, sea $L^q(X^*)$ donde $1/p+1/q=1$ y $X^*$ es el espacio dual de $X$. Sin embargo, esta relación se cumple cuando $X$ tiene la propiedad de Radon-Nikodym.

Referencia: Martingales in Banach Spaces por G. Pisier.