Si tengo una igualdad integral y luego multiplico una variable dentro de la integral, ¿la igualdad sigue siendo válida?

Question

Entonces, por ejemplo, supongamos que tengo $\int_{x=a}^{b}A(x)dx = \int_{x=a}^{b}B(x)dx$ para algunas funciones $A(x)$ y $B(x)$. ¿Entonces sigue siendo válido que $\int_{x=a}^{b}xA(x)dx = \int_{x=a}^{b}xB(x)dx$? Estaba resolviendo otro problema y lo use sin pensar realmente, pero ahora que lo veo, no estoy seguro. Creo que es incorrecto, pero simplemente no puedo pensar en una explicación intuitiva. Gracias.

Answer 1

No necesariamente :

$$\int_0^11dx=\int_0^12xdx=1.$$ Pero

$\frac{1}{2}=\int_0^1xdx\not=\int_0^12x^2dx=\frac{2}{3}.$

Answer 2

Se puede reescribir esta igualdad como

$$\int_{a}^{b}(A(x) - B(x)) dx= 0$$

Queremos determinar si

$$\int_{a}^{b} x(A(x) - B(x)) dx= 0$$

Podemos tomar $A(x) - B(x) = x$ si permitimos que $a = -b$, pero la segunda integral es de $x^2$, que es una función positiva, por lo tanto no puede ser cero.

Answer 3

Otro ejemplo: $$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0=\int_0^{2\pi} 0\,dx$$ pero $$\int_0^{2\pi}x\sin x\,dx\ne\int_0^{2\pi} x\,0\,dx\ .$$

Answer 4

Sea $$A(x)=x,\quad B(x)=-x$$ entonces $$\int\limits_{-1}^1 A(x)dx = 0 = \int\limits_{-1}^1 B(x)dx$$ pero $$\int\limits_{-1}^1 xA(x)dx = \int\limits_{-1}^1 x^2dx = \frac 13\left[x^3\right]_{-1}^1 = \frac 23$$ $$\int\limits_{-1}^1 xB(x)dx = \int\limits_{-1}^1 -x^2dx = \frac 13\left[-x^3\right]_{-1}^1 = -\frac 23$$

Otro ejemplo: $$A(x)=x,\quad B(x)=1-x$$ $$\int\limits_0^1A(x)dx=\frac 12 = \int\limits_0^1B(x)dx$$ pero $$\int\limits_0^1 xA(x)dx = \int\limits_0^1 x^2 dx = \frac 13$$ $$\int\limits_0^1 xB(x)dx = \int\limits_0^1 (x-x^2)dx = \int\limits_0^1 xdx-\int\limits_0^1 x^2dx = \frac 12 - \frac 13 = \frac 16$$

edit

Otro ejemplo más. Sea $f_n(x) = \delta(x-n)$ donde $\delta$ es una función delta de Dirac.
Entonces para todo $n\in\{1, 2, 3, 4, 5\}$ tenemos $$\int\limits_0^6 f_n(x)\,dx = 1 \quad\text{pero}\quad \int\limits_0^6 xf_n(x)\,dx = n$$