Estoy leyendo una prueba del Lemma de Zorn usando el Axioma de Elección en el texto clásico de Halmos, y no consigo ver cómo probar $\mathscr U$ cumple la tercera condición de la definición de torre. Transcribiré las partes pertinentes:
Sea $X$ sea cualquier conjunto no vacío, y sea $\mathscr X$ sea una colección de subconjuntos de $X$ sujeta a dos condiciones: en primer lugar, todo subconjunto de un conjunto en $\mathscr X$ está en $\mathscr X$ . En segundo lugar, la unión de cualquier cadena en $\mathscr X$ está en $\mathscr X$ .
Obsérvese que la condición "la unión de cualquier cadena en $\mathscr X$ está en $\mathscr X$ "es lo mismo que decir que toda cadena tiene un límite superior. Simplemente nos ceñimos al orden parcial de inclusión en lugar de a algún orden parcial abstracto. Halmos da una justificación mediante la construcción de una biyección entre los elementos de un poset y los segmentos iniciales débiles de estos elementos.
Ahora, tomamos $f$ sea una función de elección para $X$ y definir una función $g:\mathscr X\to\mathscr X$ como sigue. En primer lugar, para $A\in\mathscr X$ , dejemos que $\widehat A$ sea el conjunto de los elementos de $X$ tal que $A\cup \{x\}$ está en $\mathscr X$ . Entonces $\widehat A=A$ $\iff$ $A$ es máxima con respecto a la inclusión en $\mathscr X$ . Entonces definimos $g(A)=A$ si $A=\widehat A$ ( $\iff A$ es máxima) y $g(A)=A\cup\{f(\widehat A-A)\}$ de lo contrario.
Así que ahora la cosa va como sigue. Tenga en cuenta que $g(A)$ contiene como máximo un elemento más que $A$ . Diremos que una subcolección $\mathcal T$ de $\mathscr X$ es una torre si contiene el conjunto vacío, si $A\in\mathcal T$ implica $g(A)\in\mathcal T$ y si la unión de cualquier cadena en $\mathcal T$ está de nuevo en $\mathcal T$ .
Podemos considerar la intersección de todas las torres en $\mathscr X$ desde $\mathscr X$ es una torre (es decir, la colección no es vacía), obteniendo la torre más pequeña $\mathcal T_0$ . Que se trata de una torre está claro. Halmos ahora trata de demostrar que $\mathcal T_0$ es efectivamente una cadena. Para ello, diremos que $C\in T_0$ es comparable si es comparable con cada elemento de $T_0$ . Por lo tanto, queremos demostrar que cada $C\in T_0$ es comparable. Existen conjuntos comparables, por ejemplo, $\varnothing$ es uno.
Fijar un conjunto comparable $C$ en $T_0$ y que $A\in T_0$ . Afirmamos que $g(A)\subset C$ . Desde $C$ es comparable, o bien $g(A)\subseteq C$ o $C\subsetneq g(A)$ . Pero en este último caso tendríamos $A\subsetneq C\subsetneq g(A)$ lo que significaría $g(A)$ tiene dos elementos más que $A$ imposible.
Halmos examina ahora $\mathscr U=\{A\in T_0:A\subseteq C \text{ or } g(C)\subseteq A\}$ Se trata de un subconjunto de conjuntos comparables a $g(C)$ en $T_0$ . Queremos demostrar que esto es una torre, para que $T_0=\mathscr U$ . No veo cómo demostrar que se cumple la tercera condición. Los dos primeros requisitos sí los veo. Es decir, ¿cómo demuestro que si $\mathscr C$ es una cadena en $\mathscr U$ , $\bigcup \mathscr C$ está en $\mathscr U$ ? Halmos dijo que es obvio a partir de la definición de $\mathscr U$ y eso me desanimó un poco.
