Ejercicio 11, Sección 3.5 de Álgebra Lineal de Hoffman

Question

Dejen $W_1$ y $W_2$ ser subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita $V$.

(a) Demuestre que $(W_1+W_2)^0=W_1^0\cap W_2^0$.

(b) Demuestre que $(W_1\cap W_2)^0=W_1^0+W_2^0$.

Mi intento: (a) Deje $f\in (W_1+W_2)^0$. Entonces $f(x)=0_F$, $\forall x\in W_1+W_2$. Dado que $W_1,W_2\subseteq W_1+W_2$, tenemos $f(W_1)$, $f(W_2)=\{0_F\}$. Así que $f\in W_1^0 \cap W_2^0$. Por lo tanto $(W_1+W_2)^0\subseteq W_1^0\cap W_2^0$. De manera conversa, deje $f\in W_1^0\cap W_2^0$. Entonces $f(W_1)$, $f(W_2)=\{0_F\}$. Deje $x\in W_1+W_2$. Aproximación(1): Dado que $W_1+W_2$ $=\mathrm{span}(W_1\cup W_2)$, tenemos $x=\sum_{i=1}^nc_i \cdot_V u_i$, donde $n\in \Bbb{N}$, $c_i\in F$, $u_i\in W_1\cup W_2$. Entonces $f(x)$ $=f(\sum_{i=1}^nc_i \cdot_V u_i)$ $=\sum_{i=1}^nc_i \cdot_F f(u_i)$ $= \sum_{i=1}^nc_i \cdot_F 0_F$ $=0_F$. Así que $f(x)=0_F$, $\forall x\in W_1+W_2$. Por lo tanto $f\in (W_1+W_2)^0$. Por lo tanto $W_1^0\cap W_2^0\subseteq (W_1+W_2)^0$. Aproximación(2): Entonces $x=w_1+w_2$, para algún $w_1,w_2\in W_1,W_2$. Así que $f(x)$ $=f(w_1+w_2)$ $=f(w_1)+f(w_2)$ $=0_F+0_F$ $=0_F$. Por lo tanto $f(x)=0_F$, $\forall x\in W_1+W_2$. Así que $f\in (W_1+W_2)^0$.

(b) Deje $f\in W_1^0+W_2^0$. Entonces $f=g+h$, para algún $g\in W_1^0$, $h\in W_2^0$. Así que $g(W_1)=\{0_F\}$ y $h(W_2)=\{0_F\}$. Deje $x\in W_1\cap W_2$. Entonces $g(x)=0_F$ y $h(x)=0_F$. Así que $f(x)$ $=g+h(x)$ $=g(x)+h(x)$ $=0_F$. Por lo tanto $f(x)=0_F$, $\forall x\in W_1\cap W_2$. Así que $f\in (W_1\cap W_2)^0$. Por lo tanto $W_1^0+W_2^0\subseteq (W_1\cap W_2)^0$. De manera conversa, deje $f\in (W_1 \cap W_2)^0$. Aproximación(1): Entonces $f(x)=0_F$, $\forall x\in W_1\cap W_2$. ¿Cómo mostrar $f=g+h$, donde $g\in W_1^0$, $h\in W_2^0$? Aproximación(2): $(W_1\cap W_2)^0$ $=W_1^0+W_2^0$ $=\mathrm{span}(W_1^0\cup W_2^0)$. Así que necesitamos mostrar que $(W_1\cap W_2)^0$ es el subespacio más pequeño que contiene $W_1^0\cup W_2^0$. Es fácil verificar que $(W_1\cap W_2)^0$ es un subespacio de $V^*$. Deje $W$ ser un subespacio de $V$ tal que $W_1^0\cup W_2^0\subseteq W$. Necesitamos mostrar que $(W_1\cap W_2)^0\subseteq W$. Creo que esto usa básicamente la misma idea de demostración que $(W_1\cap W_2)^0\subseteq W_1^0+W_2^0$.

Answer 1

Dado que $W_1\cap W_2$ es un subespacio de $W_2$, existe un subespacio complementario $U_2$ tal que $W_2=(W_1\cap W_2)\oplus U_2$. Sea $U$ un complemento de $W_1+W_2$ en $V$, entonces $U\oplus U_2$ es un complemento de $W_1$.

Ahora definimos $g$ como cero en $W_1$ y como $f$ en $U\oplus U_2$. Por linealidad, $g$ está bien definido en todo $V$ y claramente pertenece a $W_1^0$. Ahora sea $h=f-g$. Basta mostrar que $h\in W_2^0$: en $W_1\cap W_2$, tanto $f$ como $g$ son cero, y en $U_2$, $g$ es igual a $f$ por definición, por lo que $h$ es cero en ambos subespacios y, por lo tanto, en todo $W_2$. ($h$ también es cero en $U$, pero esto es irrelevante).

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Addenda:

1. Supongamos que $V=V_1\oplus V_2$, y si tenemos alguna función lineal $f_1$ en $V_1$ y algunas funciones lineales $f_2$ en $V_2$. Cada $v\in V$ tiene una representación única $v=v_1+v_2$, por lo que podemos definir $f(v)=f_1(v_1)+f_2(v_2)$ y esta definición está bien definida gracias a la unicidad.
   En nuestro caso, definimos $g$ en $W_1$ como cero y como $f$ en $U\oplus U_2$. Dado que $V=W_1\oplus(U\oplus U_2)$, $g$ está bien definido en todo $V$.
2. He definido $g$ para que sea igual a $f$ en el subespacio $U\oplus U_2$, por lo tanto, en particular $g$ es igual a $f$ en su subespacio $U_2$.
3. No afirmé que $f$ sea cero en $U\oplus U_2$, pero $h$ sí lo es: Dado que $g$ es igual a $h$ en este subespacio, $h=f-g=0$ allí.
4. Cuando escribo "complemento" de un subespacio $U\subset V$ aquí me refiero en el sentido lineal: otro subespacio $W\subset V$ tal que $V=U\oplus W$. Cuando escribimos $W^c$ nos referimos al complemento de conjunto, que no es un subespacio.

Answer 2

Conocemos que $W_1^0+W_2^0\subseteq (W_1\cap W_2)^0$. Para probar la igualdad, es suficiente mostrar $\text{dim}(W_1^0+W_2^0)=\text{dim}((W_1\cap W_2)^0)$. Por teorema 6 sección 2.3 y teorema 16 sección 3.5, tenemos $$\small\begin{align*}\text{dim}(W_1^0+W_2^0)&= \text{dim}(W_1^0)+ \text{dim}(W_2^0)-\text{dim}(W_1^0\cap W_2^0)\\ &= \text{dim}(W_1^0)+ \text{dim}(W_2^0)-\text{dim}((W_1+W_2)^0)\\ &= (\text{dim}(V)-\text{dim}(W_1))+(\text{dim}(V)-\text{dim}(W_2))-(\text{dim}(V)-\text{dim}(W_1+W_2)\\ &= \text{dim}(V)-\text{dim}(W_1)-\text{dim}(W_2)+ \text{dim}(W_1)+ \text{dim}(W_2)-\text{dim}(W_1\cap W_2)\\ &= \text{dim}(V)-\text{dim}(W_1\cap W_2)\\ &= \text{dim}((W_1\cap W_2)^0) \end{align*}$$ Por teorema 5 corolario 1 sección 2.3, $W_1^0+W_2^0= (W_1\cap W_2)^0$.

Vi la solución anterior en estas notas de clase (página no. $32$).