El álgebra generado por el conjunto $\{1,x^2\}$ es denso en $C\left[0,1\right]$ con la norma supremo pero no logra ser denso en $C\left[-1,1\right]$.

Question

Demuestra que el álgebra generada por el conjunto $\{1,x^2\}$ es densa en $C\left[0,1\right]$ con la norma supremo, pero no es densa en $C\left[-1,1\right]$.

Sé que para cada $f\in$$C\left[0,1\right]$ y $\epsilon>0$, existe un polinomio $p$ tal que $||f-p||_\infty<\epsilon$.

Answer 1

Para demostrar que el álgebra generada por $\{1, x^2\}$ no es densa en $C[-1,1]$, consideremos $x\in C[-1,1]$. Sea $f$ en el álgebra, dado que tanto $1$ como $x^2$ son funciones pares, $f$ también es una función par.

Consideremos los casos donde $x=\frac{1}{2}$ y $x=-\frac{1}{2}$. En estos puntos, $f(-\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2})$. Más aún, consideremos $$ \left|f\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\right|\qquad \left|f\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\left|f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\right|. $$

Observemos, por desigualdad triangular: $$ 1=\left|\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\left|\frac{1}{2}-f\left(\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)\right|\leq\left|f\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\right|+\left|f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right|=\left|f\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\right|+\left|f\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|. $$ Al menos una de esas dos diferencias debe ser por lo menos $\frac{1}{2}$, entonces la norma $\infty$ no puede ser menor que $\frac{1}{2}$.

Answer 2

El álgebra $A$ generado por el conjunto $\{1,x^2\}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de productos de $1$ y $x^2. Debido a que esas funciones son pares (es decir, $f(t)=f(-t)$), todas las funciones en $A$ son pares. Por lo tanto, no pueden aproximar una función impar como $x$. De lo contrario, habría un $f\in A$ con $\|f-x\|_\infty < 1$, pero entonces $|f(1)-1|<1$ y $|f(-1)-(-1)|<1$ implica $f(1)>0$ y $f(-1)<0$, lo cual contradice $f(1)=f(-1)$.

Consulte también el teorema de Stone-Weierstrass para un criterio más general cuando dicho álgebra es denso.