Prueba abstracta de que el mapa exponencial es sobreyectivo en $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$

Question

Es bien sabido que el mapa exponencial asociado a cualquier grupo de Lie compacto y conexo es sobreyectivo (la demostración es una simple aplicación del teorema del punto fijo de Lefschetz). Resulta que el mapa exponencial asociado a $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ también es sobreyectivo, aunque $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ no sea compacto. La única forma que conozco de demostrar esta última afirmación es expresando cada elemento de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ en su forma canónica de Jordan y luego mostrando que cada bloque de Jordan es la exponencial de alguna matriz.

Mi pregunta es la siguiente: ¿existe una clase más amplia de grupos de Lie (más general que solo compactos y conexos, y quizás incluyendo ejemplos como $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$) para la cual podemos decir que el mapa exponencial es sobreyectivo?

Answer 1

Dudo que exista una respuesta clara como la que deseas, ya que el mapeo exponencial no resulta ser sobreyectivo en el caso de $SL(2,\mathbb{C})$.

Answer 2

Hay varios artículos sobre la sobreyectividad de la función exponencial para grupos de Lie reductivos (incluyendo $GL_n(\mathbb{C})$), y otras clases, como grupos de Lie solubles y nilpotentes:

Comentarios históricos sobre la sobreyectividad de la función exponencial de grupos de Lie

La pregunta sobre la sobreyectividad de la función exponencial de grupos de Lie reales: Un informe de estado

Answer 3

No es una respuesta, pero otra prueba de la sobreyectividad de $\exp$ para $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ es mediante la fórmula integral de Cauchy para funciones holomorfas de valores en espacios de Banach:

Si $x\in A$, un álgebra de Banach compleja, y el espectro $\sigma(x)$ de x no separa $0$ de $\infty$, entonces $x$ tiene un logaritmo (y también raíces n-ésimas) en $A$. Es decir, existe un $y\in A$ con $x=\sum\frac{y^n}{n!}$. Lo vi en la página 264 de 'Análisis funcional' por Rudin.