Límite para la norma del operador en términos del espectro del operador

Question

Es un resultado conocido que
$$\lvert\lvert A \rvert\rvert \leq \sqrt{\rho(A^TA)} $$

¿Hay alguna manera de acotar $\lvert\lvert A \rvert\rvert $ usando solo el espectro de $A$ (no de $A^TA$)?

En última instancia, estoy tratando de expresar $$\lim_{t\to\infty} \lvert\lvert A \rvert\rvert^t $$ en términos del espectro de A.

También intenté con la diagonalización de $A$ en $P^{-1}DP$

Luego $$\lim_{t\to\infty} \lvert\lvert A \rvert\rvert^t = \lim_{t\to\infty} \lvert\lvert P^{-1}DP \rvert\rvert^t$$

y me quedé atascado.

Answer 1

No, porque hay valores no nulos de $A$ con espectro $\{0\}$. Considere, por ejemplo, la matriz $$ \pmatrix{0 & 1\cr 0 & 0\cr}$$

EDIT: En $\ell^2$, considere el operador $A$ que corresponde a la matriz con bloques diagonales $$ \pmatrix{0 & 1\cr 0 & 0\cr},\ \pmatrix{0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1\cr 0 & 0 & 0\cr},\ \pmatrix{0 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 1\cr 0 & 0 & 0 & 0\cr}, \ldots $$ Otra vez, el espectro es simplemente $\{0\}$, pero para todo $t$ tenemos $\|A^t\| = 1$. Por lo tanto, ninguna condición sobre el espectro puede garantizar que $\|A^t\| \to 0$.